Номер 3, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Опишите алгоритм решения системы двух неравенств с одной переменной.

Решением системы двух неравенств с одной переменной называется такое значение переменной, которое одновременно удовлетворяет каждому из неравенств системы. Решить систему означает найти множество всех её решений (общую часть решений обоих неравенств) или доказать, что таких решений не существует.

Для решения системы двух неравенств с одной переменной используется следующий алгоритм:

1. Решить первое неравенство системы. Производятся все необходимые преобразования (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, перенос членов из одной части в другую) для того, чтобы найти множество всех значений переменной, удовлетворяющих первому неравенству. Это множество, обычно представляющее собой числовой промежуток, является решением первого неравенства.
2. Решить второе неравенство системы. Аналогично первому пункту, находится множество решений для второго неравенства.
3. Найти пересечение множеств решений. Это ключевой шаг, на котором определяется итоговое решение системы. Общее решение системы — это множество значений переменной, которые принадлежат и множеству решений первого неравенства, и множеству решений второго. Практически это удобнее всего сделать с помощью числовой прямой. Для этого нужно начертить числовую ось; отметить на ней граничные точки из решений обоих неравенств (выколотыми для строгих неравенств $>$, <, и закрашенными для нестрогих $\ge$, $\le$); заштриховать решения первого и второго неравенств на этой оси; найти область, где штриховки пересекаются. Эта область и является решением системы. Если пересечения нет, система не имеет решений.

Пример:

Требуется решить систему неравенств:

$ \begin{cases} 5x - 15 > 0 \\ 2x - 7 \le 1 \end{cases} $

1. Решаем первое неравенство: $5x > 15$, что дает $x > 3$. Решение: $x \in (3; +\infty)$.

2. Решаем второе неравенство: $2x \le 1 + 7$, что дает $2x \le 8$, и, следовательно, $x \le 4$. Решение: $x \in (-\infty; 4]$.

3. Находим пересечение решений на числовой прямой. Отмечаем выколотую точку $3$ и закрашенную точку $4$. Штрихуем область справа от $3$ и область слева от $4$ (включая точку 4). Пересечением этих областей является промежуток от $3$ до $4$, не включая $3$ и включая $4$.

Следовательно, решением системы является промежуток $(3; 4]$.

Ответ: Алгоритм решения системы двух неравенств с одной переменной: 1) решить каждое неравенство системы по отдельности, чтобы найти множество его решений; 2) найти пересечение полученных множеств решений, которое и является решением системы. Для нахождения пересечения удобно изобразить множества решений на одной числовой прямой и определить их общую часть.