Номер 1, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Что такое рациональное уравнение с двумя переменными?

1. Рациональное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида $P(x, y) = 0$, где $P(x, y)$ — это рациональное выражение, содержащее две переменные $x$ и $y$.

В свою очередь, рациональное выражение — это алгебраическое выражение, которое составлено из чисел, переменных (в нашем случае $x$ и $y$), знаков арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и возведения в степень с натуральным показателем. Любое рациональное выражение можно представить в виде дроби $\frac{A(x, y)}{B(x, y)}$, где $A(x, y)$ и $B(x, y)$ — это многочлены от двух переменных, причём многочлен в знаменателе $B(x, y)$ не должен быть тождественно равен нулю.

Таким образом, любое рациональное уравнение с двумя переменными можно привести к стандартному виду:

$\frac{A(x, y)}{B(x, y)} = 0$

Рациональные уравнения принято делить на два основных типа:

• Целые рациональные уравнения. Это уравнения, в которых знаменатель $B(x, y)$ является числом, не равным нулю (например, $B(x, y) = 1$). В таких уравнениях нет операции деления на выражение, содержащее переменную. По сути, это уравнения вида $A(x, y) = 0$, где $A(x, y)$ — многочлен.
  Примеры:
  • $2x - 7y + 5 = 0$ (линейное уравнение)
  • $x^2 + y^2 = 16$ (уравнение окружности)
  • $x^3 - 3xy + y^3 = 0$
• Дробно-рациональные уравнения. Это уравнения, в которых знаменатель $B(x, y)$ содержит хотя бы одну переменную. В этих уравнениях присутствует деление на выражение с переменной.
  Примеры:
  • $\frac{x+y}{x-2} = 5$
  • $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$
  • $x + \frac{3y}{x^2+y^2} = 4$

Важнейшим аспектом при работе с дробно-рациональными уравнениями является нахождение области допустимых значений (ОДЗ). Решениями могут быть только те пары чисел $(x, y)$, которые не обращают знаменатель в ноль, то есть для которых выполняется условие $B(x, y) \neq 0$.

Ответ: Рациональное уравнение с двумя переменными — это уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями от этих переменных. Его всегда можно записать в виде $\frac{A(x, y)}{B(x, y)} = 0$, где $A(x, y)$ и $B(x, y)$ — многочлены. Если знаменатель $B(x, y)$ не содержит переменных, уравнение называется целым, в противном случае — дробно-рациональным.