Номер 1, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Операции над множествами.

Операции над множествами — это способы построения новых множеств из одного или нескольких исходных. Множество — это совокупность различных элементов. Рассмотрим основные операции.

Объединение множеств

Объединением (или суммой) двух множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств (то есть принадлежат множеству $A$, или множеству $B$, или им обоим одновременно).

Обозначение: $A \cup B$.

Формальное определение: $A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\}$.

Пример: Пусть даны множества $A = \{1, 2, 4\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$. Тогда их объединение будет $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$. Элемент '4' входит в оба множества, но в результирующем множестве он указывается один раз, так как все элементы множества должны быть уникальны.

На диаграммах Венна объединение множеств изображается как область, занимаемая всеми кругами, соответствующими этим множествам.

Ответ: Объединение множеств $A$ и $B$ — это множество $A \cup B$, содержащее все элементы из $A$ и все элементы из $B$.

Пересечение множеств

Пересечением (или произведением) двух множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству $A$, и множеству $B$.

Обозначение: $A \cap B$.

Формальное определение: $A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\}$.

Пример: Для множеств $A = \{1, 2, 4\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$ их пересечением будет множество $A \cap B = \{4\}$, так как только элемент '4' является общим для обоих множеств.

Если пересечение множеств пусто ($A \cap B = \emptyset$), то такие множества называются непересекающимися.

На диаграммах Венна пересечение изображается как общая область перекрытия кругов.

Ответ: Пересечение множеств $A$ и $B$ — это множество $A \cap B$, содержащее только те элементы, которые есть в обоих множествах одновременно.

Разность множеств

Разностью множеств $A$ и $B$ называется множество, состоящее из всех элементов множества $A$, которые не принадлежат множеству $B$.

Обозначение: $A \setminus B$ или $A - B$.

Формальное определение: $A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \notin B\}$.

Пример: Для $A = \{1, 2, 4\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$ разность $A \setminus B = \{1, 2\}$, так как элементы '1' и '2' есть в $A$, но нет в $B$. Элемент '4' исключается, так как он есть в $B$.

Важно отметить, что операция разности некоммутативна, то есть $A \setminus B \neq B \setminus A$. В нашем примере $B \setminus A = \{3, 5\}$.

Ответ: Разность множеств $A$ и $B$ — это множество $A \setminus B$, содержащее элементы, которые есть в $A$, но которых нет в $B$.

Дополнение множества

Дополнением множества $A$ (до универсального множества $U$) называется множество, содержащее все элементы универсального множества $U$, которые не принадлежат множеству $A$. Универсальное множество $U$ — это множество, содержащее все возможные элементы в рамках рассматриваемой задачи.

Обозначение: $\bar{A}$, $A'$, или $A^c$.

Формальное определение: $\bar{A} = U \setminus A = \{x \in U \mid x \notin A\}$.

Пример: Пусть универсальное множество $U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ и $A = \{1, 2, 4\}$. Тогда дополнением множества $A$ будет $\bar{A} = \{0, 3, 5\}$.

Ответ: Дополнение множества $A$ — это множество $\bar{A}$, содержащее все элементы универсального множества $U$, которых нет в $A$.

Симметрическая разность множеств

Симметрической разностью двух множеств $A$ и $B$ называется множество, включающее все элементы, которые принадлежат только одному из этих множеств, но не их пересечению.

Обозначение: $A \Delta B$.

Формальное определение: $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$. Эквивалентная формула: $A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$.

Пример: Для $A = \{1, 2, 4\}$ и $B = \{3, 4, 5\}$ симметрическая разность $A \Delta B = \{1, 2, 3, 5\}$. Элемент '4' исключается, так как он принадлежит обоим множествам.

Ответ: Симметрическая разность множеств $A$ и $B$ — это множество $A \Delta B$, содержащее элементы, принадлежащие либо $A$, либо $B$, но не обоим сразу.

Декартово произведение множеств

Декартовым (или прямым) произведением множеств $A$ и $B$ называется множество всех упорядоченных пар $(a, b)$, у которых первый элемент $a$ принадлежит множеству $A$, а второй элемент $b$ — множеству $B$. Порядок элементов в паре имеет значение.

Обозначение: $A \times B$.

Формальное определение: $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \text{ и } b \in B\}$.

Пример: Пусть $A = \{1, 2\}$ и $B = \{x, y\}$. Тогда декартово произведение $A \times B = \{(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)\}$.

А декартово произведение $B \times A = \{(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2)\}$. Как видно, $A \times B \neq B \times A$.

Мощность (количество элементов) декартова произведения равна произведению мощностей исходных множеств: $|A \times B| = |A| \cdot |B|$.

Ответ: Декартово произведение множеств $A$ и $B$ — это множество $A \times B$, состоящее из всех возможных упорядоченных пар $(a, b)$, где $a \in A$ и $b \in B$.