Номер 2, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Системы и совокупности неравенств.

Системы неравенств

Система неравенств — это набор из двух или более неравенств с одной или несколькими переменными, для которых необходимо найти общее решение. Решением системы неравенств является множество значений переменных, которые удовлетворяют каждому неравенству системы одновременно. Это соответствует логическому оператору «И». Для обозначения системы используется фигурная скобка $\{$.

Алгоритм решения системы неравенств:

1. Решить каждое неравенство в системе отдельно.
2. Найти пересечение (общую часть) множеств решений всех неравенств. Удобно для этого использовать числовую ось, на которой отмечаются все найденные решения.
3. Записать получившееся пересечение в виде интервала или объединения интервалов. Это и будет ответом.

Пример:

Решим систему неравенств:
$ \begin{cases} 3x + 9 > 0 \\ 10 - 2x \ge 0 \end{cases} $

1. Решаем первое неравенство:
$3x > -9$
$x > -3$
Решение первого неравенства: $x \in (-3; +\infty)$.

2. Решаем второе неравенство:
$-2x \ge -10$
$x \le 5$ (делим на -2, поэтому знак неравенства меняется на противоположный)
Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 5]$.

3. Находим пересечение множеств решений. На числовой оси это будет промежуток, который одновременно удовлетворяет условиям $x > -3$ и $x \le 5$.
Общей частью этих двух интервалов является промежуток от -3 (не включая) до 5 (включая).

Ответ: $x \in (-3; 5]$.

Совокупности неравенств

Совокупность неравенств — это набор из двух или более неравенств, для которых нужно найти все значения переменных, удовлетворяющие хотя бы одному из этих неравенств. Это соответствует логическому оператору «ИЛИ». Для обозначения совокупности используется квадратная скобка $[$ или слово "или".

Алгоритм решения совокупности неравенств:

1. Решить каждое неравенство в совокупности отдельно.
2. Найти объединение множеств решений всех неравенств. При объединении мы берем все значения, которые входят хотя бы в одно из решений.
3. Записать получившееся объединение. Это и будет ответом.

Пример:

Решим совокупность неравенств:
$ \begin{bmatrix} x + 2 \le 0 \\ x - 3 > 0 \end{bmatrix} $

1. Решаем первое неравенство:
$x + 2 \le 0$
$x \le -2$
Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2]$.

2. Решаем второе неравенство:
$x - 3 > 0$
$x > 3$
Решение второго неравенства: $x \in (3; +\infty)$.

3. Находим объединение множеств решений. Мы ищем все значения $x$, которые либо меньше или равны -2, либо строго больше 3. Эти два интервала не пересекаются, поэтому в ответе мы их просто объединяем с помощью знака $\cup$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup (3; +\infty)$.