Страница 71, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что такое рациональное уравнение с двумя переменными?

1. Рациональное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида $P(x, y) = 0$, где $P(x, y)$ — это рациональное выражение, содержащее две переменные $x$ и $y$.

В свою очередь, рациональное выражение — это алгебраическое выражение, которое составлено из чисел, переменных (в нашем случае $x$ и $y$), знаков арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление) и возведения в степень с натуральным показателем. Любое рациональное выражение можно представить в виде дроби $\frac{A(x, y)}{B(x, y)}$, где $A(x, y)$ и $B(x, y)$ — это многочлены от двух переменных, причём многочлен в знаменателе $B(x, y)$ не должен быть тождественно равен нулю.

Таким образом, любое рациональное уравнение с двумя переменными можно привести к стандартному виду:

$\frac{A(x, y)}{B(x, y)} = 0$

Рациональные уравнения принято делить на два основных типа:

• Целые рациональные уравнения. Это уравнения, в которых знаменатель $B(x, y)$ является числом, не равным нулю (например, $B(x, y) = 1$). В таких уравнениях нет операции деления на выражение, содержащее переменную. По сути, это уравнения вида $A(x, y) = 0$, где $A(x, y)$ — многочлен.
  Примеры:
  • $2x - 7y + 5 = 0$ (линейное уравнение)
  • $x^2 + y^2 = 16$ (уравнение окружности)
  • $x^3 - 3xy + y^3 = 0$
• Дробно-рациональные уравнения. Это уравнения, в которых знаменатель $B(x, y)$ содержит хотя бы одну переменную. В этих уравнениях присутствует деление на выражение с переменной.
  Примеры:
  • $\frac{x+y}{x-2} = 5$
  • $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$
  • $x + \frac{3y}{x^2+y^2} = 4$

Важнейшим аспектом при работе с дробно-рациональными уравнениями является нахождение области допустимых значений (ОДЗ). Решениями могут быть только те пары чисел $(x, y)$, которые не обращают знаменатель в ноль, то есть для которых выполняется условие $B(x, y) \neq 0$.

Ответ: Рациональное уравнение с двумя переменными — это уравнение, левая и правая части которого являются рациональными выражениями от этих переменных. Его всегда можно записать в виде $\frac{A(x, y)}{B(x, y)} = 0$, где $A(x, y)$ и $B(x, y)$ — многочлены. Если знаменатель $B(x, y)$ не содержит переменных, уравнение называется целым, в противном случае — дробно-рациональным.

2. Что называют решением рационального уравнения с двумя переменными?

2. Рациональное уравнение с двумя переменными (например, $x$ и $y$) — это уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями. Рациональное выражение — это алгебраическая дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами. Такое уравнение можно привести к виду $\frac{P(x,y)}{Q(x,y)} = 0$, где $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ — многочлены от двух переменных.

Решением такого уравнения называют упорядоченную пару чисел $(x_0, y_0)$, которая при подстановке в уравнение вместо переменных $x$ и $y$ соответственно, превращает его в верное числовое равенство. Важным условием является то, что эта пара значений должна входить в область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Для рационального уравнения это означает, что знаменатели всех дробей, входящих в уравнение, не должны обращаться в ноль при подстановке этой пары чисел.

Например, рассмотрим уравнение $\frac{x^2}{y} - 5 = 0$.

Проверим, является ли пара $(5, 5)$ решением.
Сначала проверим, входит ли пара в ОДЗ. Знаменатель $y$ не должен быть равен нулю. В нашем случае $y=5$, так что $5 \neq 0$. Условие ОДЗ выполняется.
Теперь подставим значения в уравнение: $\frac{5^2}{5} - 5 = \frac{25}{5} - 5 = 5 - 5 = 0$.
Мы получили верное числовое равенство $0 = 0$. Следовательно, пара $(5, 5)$ является решением этого уравнения.

Проверим пару $(4, 2)$.
ОДЗ: $y=2 \neq 0$. Условие выполняется.
Подставляем значения: $\frac{4^2}{2} - 5 = \frac{16}{2} - 5 = 8 - 5 = 3$.
Мы получили $3=0$, что является неверным равенством. Следовательно, пара $(4, 2)$ не является решением.

Пара $(10, 0)$ не может быть решением, так как она не входит в ОДЗ (знаменатель обращается в ноль).

Ответ: Решением рационального уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара значений этих переменных, которая принадлежит области допустимых значений уравнения и при подстановке которой уравнение обращается в верное числовое равенство.

3. Подберите три решения уравнения:

а) $2x + 3y = 6;$

б) $x^2 + y^2 = 25.$

а) Для уравнения $2x + 3y = 6$ необходимо найти три пары чисел $(x, y)$, которые при подстановке в уравнение обращают его в верное равенство. Это линейное уравнение, и у него бесконечно много решений. Мы можем найти некоторые из них, подставляя удобные значения для одной переменной и вычисляя значение другой.

1. Первое решение.

Давайте выберем простое значение для $x$, например, $x = 0$. Подставим его в уравнение:

$2 \cdot 0 + 3y = 6$

$0 + 3y = 6$

$3y = 6$

$y = \frac{6}{3} = 2$

Таким образом, первая пара чисел, являющаяся решением, — это $(0; 2)$.

2. Второе решение.

Теперь выберем простое значение для $y$, например, $y = 0$. Подставим его в уравнение:

$2x + 3 \cdot 0 = 6$

$2x + 0 = 6$

$2x = 6$

$x = \frac{6}{2} = 3$

Таким образом, вторая пара чисел — это $(3; 0)$.

3. Третье решение.

Чтобы найти еще одно целочисленное решение, выразим $y$ через $x$: $3y = 6 - 2x$, откуда $y = \frac{6-2x}{3}$. Чтобы $y$ был целым, выражение $(6-2x)$ должно быть кратно 3. Подберем такое значение $x$, например, $x = -3$.

$y = \frac{6 - 2(-3)}{3} = \frac{6 + 6}{3} = \frac{12}{3} = 4$

Проверим: $2(-3) + 3(4) = -6 + 12 = 6$. Равенство верно.

Таким образом, третья пара чисел — это $(-3; 4)$.

Ответ: Например, $(0; 2)$, $(3; 0)$, $(-3; 4)$.

б) Уравнение $x^2 + y^2 = 25$ является уравнением окружности с центром в точке $(0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$. Нам нужно найти три пары чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют этому уравнению, то есть три точки, лежащие на этой окружности.

1. Первое решение.

Найдем точку пересечения окружности с положительной частью оси $Oy$. Для этого положим $x = 0$:

$0^2 + y^2 = 25$

$y^2 = 25$

Отсюда $y = 5$ или $y = -5$. Возьмем положительное значение $y=5$.

Первое решение: $(0; 5)$.

2. Второе решение.

Найдем точку пересечения окружности с положительной частью оси $Ox$. Для этого положим $y = 0$:

$x^2 + 0^2 = 25$

$x^2 = 25$

Отсюда $x = 5$ или $x = -5$. Возьмем положительное значение $x=5$.

Второе решение: $(5; 0)$.

3. Третье решение.

Нужно найти такие числа $x$ и $y$, чтобы сумма их квадратов была равна 25. Мы можем заметить, что 25 является суммой двух квадратов: $25 = 9 + 16$.

$9 + 16 = 3^2 + 4^2$.

Значит, мы можем взять $x=3$ и $y=4$.

Проверим: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Равенство верно.

Третье решение: $(3; 4)$.

Ответ: Например, $(0; 5)$, $(5; 0)$, $(3; 4)$.

4. Что называют графиком уравнения $p(x; y) = 0$?

Графиком уравнения с двумя переменными $p(x; y) = 0$ называют множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Рассмотрим это определение более детально:

1. Координатная плоскость: Имеется в виду декартова система координат, состоящая из двух перпендикулярных осей — оси абсцисс ($Ox$) и оси ординат ($Oy$). Каждая точка на этой плоскости однозначно определяется парой чисел $(x; y)$, которые называются ее координатами.
2. Решение уравнения: Пара чисел $(x_0; y_0)$ называется решением уравнения $p(x; y) = 0$, если при подстановке этих значений в уравнение вместо переменных $x$ и $y$ соответственно, получается верное числовое равенство. То есть, $p(x_0; y_0) = 0$.
3. Множество точек: График — это не одна точка, а совокупность всех точек, чьи координаты удовлетворяют уравнению. Эта совокупность точек образует на плоскости некоторую фигуру (линию, область и т.д.).

Пример 1: Рассмотрим линейное уравнение $y - 2x + 3 = 0$.

Пара чисел $(2; 1)$ является решением этого уравнения, так как при подстановке $x=2$ и $y=1$ получаем верное равенство: $1 - 2 \cdot 2 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$. Следовательно, точка с координатами $(2; 1)$ принадлежит графику данного уравнения.

Пара чисел $(1; 1)$ не является решением, так как $1 - 2 \cdot 1 + 3 = 2 \neq 0$. Значит, точка $(1; 1)$ не лежит на графике.

Множество всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению $y - 2x + 3 = 0$, образуют на плоскости прямую линию.

Пример 2: Рассмотрим уравнение окружности $x^2 + y^2 - 9 = 0$.

Решениями этого уравнения являются все пары чисел $(x; y)$, для которых выполняется равенство $x^2 + y^2 = 9$. Например, $(0; 3)$, $(3; 0)$, $(\sqrt{5}; -2)$. Множество всех таких точек на координатной плоскости образует окружность с центром в начале координат и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Таким образом, график уравнения — это визуальное, геометрическое представление множества всех его решений на координатной плоскости.

Ответ: Графиком уравнения $p(x; y) = 0$ с двумя переменными $x$ и $y$ называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых $(x; y)$ являются решениями этого уравнения.

5. Что представляет собой график уравнения $2x + 3y = 6$? Постройте этот график.

Что представляет собой график уравнения $2x + 3y = 6$

Данное уравнение $2x + 3y = 6$ является линейным уравнением с двумя переменными ($x$ и $y$). Общий вид такого уравнения $Ax + By = C$, где $A$, $B$ и $C$ – некоторые числа, причем $A$ и $B$ не равны нулю одновременно. Графиком любого линейного уравнения с двумя переменными является прямая линия.

Чтобы представить уравнение в более привычном виде, выразим $y$ через $x$: $3y = 6 - 2x$ $y = \frac{6 - 2x}{3}$ $y = -\frac{2}{3}x + 2$

Это уравнение вида $y = kx + b$, которое является уравнением прямой. Здесь угловой коэффициент $k = -\frac{2}{3}$, а $b = 2$ — это ордината точки пересечения прямой с осью $OY$.

Ответ: График уравнения представляет собой прямую линию.

Постройте этот график

Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих ей. Самый простой способ — найти точки пересечения прямой с осями координат.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью $OY$). Для этого необходимо положить $x=0$:
$2 \cdot 0 + 3y = 6$
$3y = 6$
$y = 2$
Следовательно, первая точка имеет координаты $(0, 2)$.

2. Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью $OX$). Для этого необходимо положить $y=0$:
$2x + 3 \cdot 0 = 6$
$2x = 6$
$x = 3$
Следовательно, вторая точка имеет координаты $(3, 0)$.

Теперь на координатной плоскости нужно отметить эти две точки — $(0, 2)$ и $(3, 0)$ — и провести через них прямую линию. Эта прямая и является искомым графиком.

Ответ: График уравнения $2x + 3y = 6$ — это прямая, которая проходит через точки с координатами $(0, 2)$ и $(3, 0)$.

6. Запишите формулу расстояния между точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ координатной плоскости $xOy$.

6. Формула для вычисления расстояния между двумя точками на координатной плоскости является прямым следствием теоремы Пифагора.
Пусть у нас есть две точки на плоскости $xOy$: точка $A$ с координатами $(x_1; y_1)$ и точка $B$ с координатами $(x_2; y_2)$. Расстояние между этими точками, обозначим его как $d$, равно длине отрезка $AB$.
Чтобы найти эту длину, мы можем построить прямоугольный треугольник, в котором отрезок $AB$ будет гипотенузой. Для этого проведем через точку $A$ прямую, параллельную оси $Ox$, а через точку $B$ — прямую, параллельную оси $Oy$. Точка их пересечения $C$ будет иметь координаты $(x_2; y_1)$.
В получившемся прямоугольном треугольнике $ABC$ длины катетов равны:
Длина катета $AC$ равна модулю разности абсцисс: $|x_2 - x_1|$.
Длина катета $BC$ равна модулю разности ординат: $|y_2 - y_1|$.
По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
$d^2 = (AC)^2 + (BC)^2$
$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, мы получаем окончательную формулу для расстояния между двумя точками.

Ответ: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

7. Что представляет собой график уравнения $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$?

Уравнение $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ является каноническим (стандартным) уравнением окружности на декартовой плоскости. График этого уравнения — это множество всех точек $(x, y)$, расстояние от которых до фиксированной точки $(a, b)$ постоянно и равно $r$.

Давайте разберем, что означает каждый параметр этого уравнения:

• Точка с координатами $(a, b)$ — это центр окружности. Значения $a$ и $b$ определяют смещение центра окружности по осям $Ox$ и $Oy$ соответственно относительно начала координат. Если $a=0$ и $b=0$, центр окружности находится в точке $(0, 0)$.
• Величина $r$ — это радиус окружности. В уравнении используется $r^2$ (квадрат радиуса), поэтому для нахождения радиуса нужно извлечь квадратный корень из правой части уравнения. Радиус должен быть положительным числом ($r > 0$). Если $r^2=0$ (то есть $r=0$), то уравнение представляет собой одну точку $(a,b)$. Если $r^2 < 0$, уравнение не имеет решений в действительных числах, и график будет пустым множеством.

Это уравнение напрямую следует из формулы расстояния между двумя точками, которая, в свою очередь, является следствием теоремы Пифагора. Расстояние $d$ между произвольной точкой окружности $(x, y)$ и ее центром $(a, b)$ всегда равно радиусу $r$.
Формула расстояния: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.
Применив ее к нашим точкам, получаем: $r = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$.
Возведя обе части в квадрат, мы приходим к искомому уравнению: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.

Пример:
Уравнение $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ описывает окружность с центром в точке $(3, -2)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: График уравнения $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ представляет собой окружность с центром в точке с координатами $(a, b)$ и радиусом, равным $r$.

8. Что такое система двух уравнений с двумя переменными?

Система двух уравнений с двумя переменными — это условие, которое требует одновременного выполнения двух уравнений, каждое из которых содержит две неизвестные (переменные). Обычно эти переменные обозначают как $x$ и $y$. Задача состоит в том, чтобы найти все пары значений $(x, y)$, которые являются решениями для каждого из уравнений системы.

Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки, которая означает, что уравнения должны выполняться одновременно: $$ \begin{cases} F_1(x, y) = 0 \\ F_2(x, y) = 0 \end{cases} $$ Здесь $F_1(x, y) = 0$ и $F_2(x, y) = 0$ — это два уравнения с переменными $x$ и $y$. Например, система линейных уравнений имеет вид: $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$

Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел $(x_0, y_0)$, при подстановке которой в каждое из уравнений системы получаются верные числовые равенства. Решить систему — значит найти все её решения или доказать, что решений не существует.

Графическая интерпретация. Каждое уравнение с двумя переменными задает на координатной плоскости некоторую линию (прямую, параболу, окружность и т.д.). Решением системы являются координаты всех точек пересечения графиков этих уравнений.

• Если графики пересекаются в одной точке, система имеет единственное решение.
• Если графики не пересекаются (например, они являются параллельными прямыми), система не имеет решений.
• Если графики совпадают, то любая точка этой линии является решением, и система имеет бесконечное множество решений.

Пример. Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \end{cases} $$ Для решения этой системы можно использовать метод подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения: $x = 5 - 2y$. Подставим это выражение во второе уравнение: $3(5 - 2y) - y = 1$ $15 - 6y - y = 1$ $15 - 7y = 1$ $7y = 14$ $y = 2$ Теперь найдем $x$, подставив значение $y=2$ в выражение для $x$: $x = 5 - 2 \cdot 2 = 5 - 4 = 1$. Таким образом, решением системы является пара чисел $(1, 2)$. Проверим: $1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$ (верно) $3 \cdot 1 - 2 = 3 - 2 = 1$ (верно) Графически это означает, что прямые $x + 2y = 5$ и $3x - y = 1$ пересекаются в точке с координатами $(1, 2)$.

Ответ: Система двух уравнений с двумя переменными — это два уравнения, объединенные требованием их одновременного выполнения. Решить такую систему означает найти все упорядоченные пары чисел (переменных), которые превращают каждое из уравнений в верное числовое равенство.

9. Что называют решением системы двух уравнений с двумя переменными?

Решением системы двух уравнений с двумя переменными (например, $x$ и $y$) называют упорядоченную пару чисел $(x_0; y_0)$, которая удовлетворяет каждому уравнению системы. Иными словами, если подставить значения $x_0$ вместо $x$ и $y_0$ вместо $y$ в оба уравнения, то каждое из них превратится в верное числовое равенство.

Рассмотрим общую форму системы двух уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} f(x, y) = 0 \\ g(x, y) = 0 \end{cases} $$ Пара чисел $(x_0; y_0)$ будет являться решением этой системы только в том случае, если одновременно выполняются два условия: $f(x_0, y_0) = 0$ и $g(x_0, y_0) = 0$.

Геометрическая интерпретация:
Каждое уравнение с двумя переменными можно представить в виде графика на координатной плоскости (например, прямой, параболы, окружности). Решение системы — это координаты точки (или точек) пересечения графиков этих уравнений. Поскольку точка пересечения принадлежит обоим графикам, её координаты удовлетворяют обоим уравнениям системы.

Пример:
Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 5 \end{cases} $$ Проверим, является ли пара чисел $(4; 3)$ решением данной системы.
1. Подставим значения в первое уравнение: $4 + 3 = 7$. Получилось верное равенство $7 = 7$.
2. Подставим значения во второе уравнение: $2 \cdot 4 - 3 = 8 - 3 = 5$. Получилось верное равенство $5 = 5$.
Так как пара чисел $(4; 3)$ обращает в верное равенство оба уравнения системы, она является решением этой системы.

Ответ: Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется упорядоченная пара значений этих переменных, при подстановке которой каждое из уравнений системы обращается в верное числовое равенство.

10. Дана система уравнений $\begin{cases} x + 3y = 5, \\ x^2 + y^2 = 25. \end{cases}$ Какие пары чисел являются её решениями:

а) (5; 0);

б) (2; 1);

в) (3; 4);

г) (1; 2);

д) (-1; 2)?

Для того чтобы определить, какие из предложенных пар чисел являются решениями системы, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в оба уравнения. Пара будет являться решением только в том случае, если оба равенства окажутся верными. Также можно решить систему и сравнить полученные решения с предложенными.

Способ 1: Решение системы уравнений

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + 3y = 5 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 5 - 3y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(5 - 3y)^2 + y^2 = 25$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$25 - 30y + 9y^2 + y^2 = 25$

$10y^2 - 30y + 25 - 25 = 0$

$10y^2 - 30y = 0$

Вынесем общий множитель $10y$ за скобки:

$10y(y - 3) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$ или $y_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$:

1. При $y_1 = 0$, $x_1 = 5 - 3(0) = 5$. Получаем решение $(5; 0)$.

2. При $y_2 = 3$, $x_2 = 5 - 3(3) = 5 - 9 = -4$. Получаем решение $(-4; 3)$.

Итак, решения системы: $(5; 0)$ и $(-4; 3)$. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что только пара из пункта а) является решением.

Способ 2: Проверка каждой предложенной пары

а) (5; 0)

Подставляем $x=5$ и $y=0$ в уравнения:

1) $5 + 3 \cdot 0 = 5 \implies 5 = 5$ (Верно)

2) $5^2 + 0^2 = 25 \implies 25 + 0 = 25 \implies 25 = 25$ (Верно)

Оба равенства верны.

Ответ: является решением.

б) (2; 1)

Подставляем $x=2$ и $y=1$ в уравнения:

1) $2 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5 \implies 5 = 5$ (Верно)

2) $2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$. Равенство $5 = 25$ неверно.

Второе уравнение не выполняется.

Ответ: не является решением.

в) (3; 4)

Подставляем $x=3$ и $y=4$ в уравнения:

1) $3 + 3 \cdot 4 = 3 + 12 = 15$. Равенство $15 = 5$ неверно.

Первое уравнение не выполняется.

Ответ: не является решением.

г) (1; 2)

Подставляем $x=1$ и $y=2$ в уравнения:

1) $1 + 3 \cdot 2 = 1 + 6 = 7$. Равенство $7 = 5$ неверно.

Первое уравнение не выполняется.

Ответ: не является решением.

д) (-1; 2)

Подставляем $x=-1$ и $y=2$ в уравнения:

1) $-1 + 3 \cdot 2 = -1 + 6 = 5 \implies 5 = 5$ (Верно)

2) $(-1)^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. Равенство $5 = 25$ неверно.

Второе уравнение не выполняется.

Ответ: не является решением.

Итоговый вывод: из всех предложенных пар чисел только а) (5; 0) является решением данной системы уравнений.

11. Расскажите, как графически решить систему уравнений $ \begin{cases} x + 3y = 5, \\ x^2 + y^2 = 25. \end{cases} $

Графический метод решения системы уравнений заключается в построении графиков каждого уравнения в одной системе координат и нахождении координат точек их пересечения. Каждая точка пересечения является решением системы, так как ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям.

Построение графика уравнения $x + 3y = 5$
Первое уравнение $x + 3y = 5$ является линейным, его график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых принадлежащих ей точек. Выразим $y$ через $x$:
$3y = 5 - x$
$y = \frac{5-x}{3}$
Найдем координаты двух точек:
1. При $x = 5$, $y = \frac{5-5}{3} = 0$. Получаем точку $(5, 0)$.
2. При $x = -4$, $y = \frac{5-(-4)}{3} = \frac{9}{3} = 3$. Получаем точку $(-4, 3)$.
На координатной плоскости отмечаем точки $(5, 0)$ и $(-4, 3)$ и проводим через них прямую.

Построение графика уравнения $x^2 + y^2 = 25$
Второе уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности. Стандартный вид уравнения окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ выглядит так: $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2$.
В нашем случае уравнение можно записать как $(x-0)^2 + (y-0)^2 = 5^2$.
Следовательно, это окружность с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R=5$.
Строим эту окружность на той же координатной плоскости.

Нахождение решения
Решениями системы являются координаты точек, в которых построенная прямая пересекает окружность. На графике мы находим две точки пересечения, определяя их координаты. Это точки $(-4, 3)$ и $(5, 0)$. Эти пары чисел и являются решениями данной системы уравнений.

Ответ: $(-4, 3)$, $(5, 0)$.

12. Что называют решением неравенства $p(x; y) > 0$?

Решением неравенства с двумя переменными, такого как $p(x; y) > 0$, называется любая упорядоченная пара чисел $(x_0; y_0)$, которая при подстановке вместо переменных $x$ и $y$ соответственно, обращает данное неравенство в верное числовое неравенство. Иными словами, для пары $(x_0; y_0)$ должно выполняться условие $p(x_0; y_0) > 0$.

Множество всех таких пар $(x; y)$ образует множество решений неравенства. В отличие от неравенств с одной переменной, где решением обычно является числовой интервал или объединение интервалов на числовой прямой, множество решений неравенства с двумя переменными, как правило, представляет собой некоторую область на координатной плоскости $Oxy$. Каждая точка этой области своими координатами удовлетворяет неравенству.

Пример:

Рассмотрим неравенство $2x - y > 3$.
1. Проверим, является ли пара чисел $(4; 1)$ решением. Подставим $x=4$ и $y=1$ в неравенство: $2 \cdot 4 - 1 > 3$, что дает $8 - 1 > 3$, или $7 > 3$. Это верное числовое неравенство, значит, пара $(4; 1)$ является решением.
2. Проверим пару чисел $(1; -2)$. Подставим $x=1$ и $y=-2$: $2 \cdot 1 - (-2) > 3$, что дает $2 + 2 > 3$, или $4 > 3$. Это также верное неравенство, следовательно, пара $(1; -2)$ тоже является решением.
3. Проверим пару чисел $(2; 2)$. Подставим $x=2$ и $y=2$: $2 \cdot 2 - 2 > 3$, что дает $4 - 2 > 3$, или $2 > 3$. Это неверное числовое неравенство, поэтому пара $(2; 2)$ не является решением.
Множество всех решений неравенства $2x - y > 3$ (или $y < 2x - 3$) — это открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = 2x - 3$.

Ответ: Решением неравенства $p(x; y) > 0$ называют любую упорядоченную пару чисел $(x; y)$, которая обращает это неравенство в верное числовое неравенство.

13. Подберите три решения неравенства:

а) $2x + 3y > 6$;

б) $x^2 + y^2 < 25.$

а) $2x + 3y > 6$

Чтобы найти решения этого неравенства, нужно подобрать такие пары чисел $(x, y)$, которые при подстановке в неравенство делают его верным. Мы можем выбрать произвольное значение для одной переменной и найти, каким должно быть значение другой переменной.

1. Первое решение.
Пусть $x = 4$. Подставим это значение в неравенство:
$2 \cdot 4 + 3y > 6$
$8 + 3y > 6$
$3y > 6 - 8$
$3y > -2$
$y > -\frac{2}{3}$
Выберем любое значение $y$, которое больше $-\frac{2}{3}$, например, $y = 1$.
Проверим пару $(4; 1)$: $2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 8 + 3 = 11$. Поскольку $11 > 6$, пара $(4; 1)$ является решением.

2. Второе решение.
Пусть $y = 2$. Подставим это значение в неравенство:
$2x + 3 \cdot 2 > 6$
$2x + 6 > 6$
$2x > 6 - 6$
$2x > 0$
$x > 0$
Выберем любое значение $x$, которое больше $0$, например, $x = 1$.
Проверим пару $(1; 2)$: $2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = 2 + 6 = 8$. Поскольку $8 > 6$, пара $(1; 2)$ является решением.

3. Третье решение.
Пусть $x = 10$. Подставим это значение в неравенство:
$2 \cdot 10 + 3y > 6$
$20 + 3y > 6$
$3y > 6 - 20$
$3y > -14$
$y > -\frac{14}{3}$
Выберем любое значение $y$, которое больше $-\frac{14}{3}$, например, $y = 0$.
Проверим пару $(10; 0)$: $2 \cdot 10 + 3 \cdot 0 = 20 + 0 = 20$. Поскольку $20 > 6$, пара $(10; 0)$ является решением.

Ответ: например, $(4; 1)$, $(1; 2)$, $(10; 0)$.

б) $x^2 + y^2 < 25$

Это неравенство описывает множество всех точек $(x, y)$ на координатной плоскости, которые находятся внутри окружности с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$. Следовательно, нам нужно найти три пары чисел, сумма квадратов которых меньше 25.

1. Первое решение.
Возьмем простую пару чисел, например, $(1; 2)$.
Подставим и проверим: $1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
Так как $5 < 25$, пара $(1; 2)$ является решением.

2. Второе решение.
Возьмем пару, включающую отрицательное число, например, $(3; -1)$.
Подставим и проверим: $3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$.
Так как $10 < 25$, пара $(3; -1)$ является решением.

3. Третье решение.
Возьмем пару с нулем, например, $(0; 4)$.
Подставим и проверим: $0^2 + 4^2 = 0 + 16 = 16$.
Так как $16 < 25$, пара $(0; 4)$ является решением.

Ответ: например, $(1; 2)$, $(3; -1)$, $(0; 4)$.

14. Постройте множество точек координатной плоскости $xOy$, удовлетворяющих неравенству:

a) $x^2 + y^2 < 25;$

б) $x^2 + y^2 \le 25;$

в) $x^2 + y^2 > 25.$

Для решения данной задачи необходимо проанализировать уравнение, которое служит границей для указанных неравенств: $x^2 + y^2 = 25$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $O(0, 0)$, и радиусом $R$, таким что $R^2 = 25$. Следовательно, радиус окружности $R = 5$. Эта окружность делит всю координатную плоскость на три множества точек: те, что лежат внутри окружности, те, что лежат на самой окружности, и те, что лежат вне ее. Выражение $\sqrt{x^2 + y^2}$ определяет расстояние от любой точки $(x, y)$ до начала координат. Исходя из этого, рассмотрим каждое неравенство.

а) Неравенство $x^2 + y^2 < 25$ означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до начала координат меньше 25, или, что то же самое, само расстояние меньше 5 ($\sqrt{x^2 + y^2} < 5$). Таким образом, искомое множество точек — это все точки, находящиеся внутри окружности с центром в $O(0, 0)$ и радиусом 5. Поскольку неравенство строгое, точки, лежащие на самой окружности, в это множество не входят. Такое множество называется открытым кругом. При графическом изображении граница круга (окружность) рисуется пунктирной линией.
Ответ: Множество точек, лежащих внутри окружности с центром в начале координат и радиусом 5 (открытый круг).

б) Неравенство $x^2 + y^2 \le 25$ является нестрогим и означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до начала координат меньше или равен 25 ($\sqrt{x^2 + y^2} \le 5$). Следовательно, искомое множество состоит из всех точек, находящихся внутри окружности с центром в $O(0, 0)$ и радиусом 5, а также всех точек, лежащих на самой окружности. Такое множество называется замкнутым кругом. При графическом изображении граница круга (окружность) рисуется сплошной линией.
Ответ: Множество точек, лежащих внутри и на границе окружности с центром в начале координат и радиусом 5 (замкнутый круг).

в) Неравенство $x^2 + y^2 > 25$ означает, что квадрат расстояния от точки $(x, y)$ до начала координат больше 25 ($\sqrt{x^2 + y^2} > 5$). Искомое множество — это все точки координатной плоскости, которые находятся вне окружности с центром в $O(0, 0)$ и радиусом 5. Поскольку неравенство строгое, точки, лежащие на самой окружности, в это множество не входят. При графическом изображении граница (окружность) рисуется пунктирной линией, а заштриховывается область вне круга.
Ответ: Множество точек, лежащих вне окружности с центром в начале координат и радиусом 5.