Страница 70, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Исследуйте на чётность функцию:

11.6 a) $y = x^2$;

б) $y = x^7$;

в) $y = x^6$;

г) $y = x^3$.

Для исследования функции на чётность необходимо проверить выполнение одного из двух условий для любого $x$ из области определения функции. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля (если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ должен принадлежать ей).
1. Функция $y = f(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
2. Функция $y = f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция называется функцией общего вида (не является ни чётной, ни нечётной).
Все представленные функции вида $y = x^n$ определены на всей числовой оси, то есть их область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, которая симметрична относительно нуля.

а) $y = x^2$

Обозначим данную функцию как $f(x) = x^2$.
Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^2 = x^2$.
Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$. Так как $f(-x) = x^2$ и $f(x) = x^2$, то $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.
Ответ: чётная.

б) $y = x^7$

Обозначим данную функцию как $f(x) = x^7$.
Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^7 = -x^7$.
Сравниваем $f(-x)$ и $-f(x)$. Так как $f(-x) = -x^7$ и $-f(x) = -x^7$, то $f(-x) = -f(x)$.
Следовательно, функция является нечётной.
Ответ: нечётная.

в) $y = x^6$

Обозначим данную функцию как $f(x) = x^6$.
Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^6 = x^6$.
Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$. Так как $f(-x) = x^6$ и $f(x) = x^6$, то $f(-x) = f(x)$.
Следовательно, функция является чётной.
Ответ: чётная.

г) $y = x^3$

Обозначим данную функцию как $f(x) = x^3$.
Найдём значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^3 = -x^3$.
Сравниваем $f(-x)$ и $-f(x)$. Так как $f(-x) = -x^3$ и $-f(x) = -x^3$, то $f(-x) = -f(x)$.
Следовательно, функция является нечётной.
Ответ: нечётная.

11.7 а) $y = |x|$, $x \in [-1; 1];$

б) $y = x^5$, $x \in [-3; 3];$

В) $y = |x|$, $x \in [-2; 2];$

Г) $y = x^5$, $x \in [-4; 4].$

а)

Чтобы определить, является ли функция $y = |x|$ на промежутке $x \in [-1; 1]$ четной или нечетной, необходимо проверить два условия.
1. Симметричность области определения. Область определения $D(f) = [-1; 1]$ симметрична относительно нуля, так как для любого $x$ из этого промежутка, $-x$ также принадлежит этому промежутку.
2. Проверка свойства четности/нечетности. Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = |-x|$.
По свойству модуля $|-x| = |x|$.
Следовательно, $y(-x) = |x| = y(x)$.
Так как выполняется условие $y(-x) = y(x)$, функция является четной.
Ответ: функция четная.

б)

Рассмотрим функцию $y = x^5$ на промежутке $x \in [-3; 3]$.
1. Симметричность области определения. Область определения $D(f) = [-3; 3]$ является симметричной относительно нуля.
2. Проверка свойства четности/нечетности. Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = (-x)^5$.
Так как степень нечетная, $(-x)^5 = -x^5$.
Следовательно, $y(-x) = -x^5 = -y(x)$.
Так как выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

в)

Рассмотрим функцию $y = |x|$ на промежутке $x \in [-2; 2]$.
1. Симметричность области определения. Область определения $D(f) = [-2; 2]$ симметрична относительно нуля.
2. Проверка свойства четности/нечетности. Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = |-x| = |x|$.
Получаем, что $y(-x) = y(x)$.
Следовательно, функция является четной.
Ответ: функция четная.

г)

Рассмотрим функцию $y = x^5$ на промежутке $x \in [-4; 4]$.
1. Симметричность области определения. Область определения $D(f) = [-4; 4]$ симметрична относительно нуля.
2. Проверка свойства четности/нечетности. Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = (-x)^5 = -x^5$.
Получаем, что $y(-x) = -y(x)$.
Следовательно, функция является нечетной.
Ответ: функция нечетная.

11.8 a) $y = 2x^3$, $x \in [-2; 2];$

б) $y = -x^2$, $x \in [-1; 0];$

В) $y = -x^2$, $x \in (-\infty; +\infty);$

Г) $y = 2x^3$, $x \in [-3; 3).$

а) Для нахождения множества значений функции $y = 2x^3$ на отрезке $x \in [-2; 2]$, нужно найти ее наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке. Функция является непрерывной, поэтому она достигает своих экстремумов либо на концах отрезка, либо в критических точках внутри него.
1. Найдем производную функции: $y' = (2x^3)' = 2 \cdot 3x^2 = 6x^2$.
2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $6x^2 = 0$, откуда $x=0$. Эта точка принадлежит отрезку $[-2; 2]$.
3. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$y(-2) = 2 \cdot (-2)^3 = 2 \cdot (-8) = -16$.
$y(0) = 2 \cdot (0)^3 = 0$.
$y(2) = 2 \cdot (2)^3 = 2 \cdot 8 = 16$.
4. Сравнивая полученные значения (-16, 0, 16), находим, что наименьшее значение функции на отрезке равно -16, а наибольшее равно 16.
Таким образом, множество значений функции на данном отрезке — это все числа от -16 до 16 включительно.
Ответ: $[-16; 16]$.

б) Для нахождения множества значений функции $y = -x^2$ на отрезке $x \in [-1; 0]$, исследуем ее поведение на этом отрезке.
1. Найдем производную функции: $y' = (-x^2)' = -2x$.
2. Найдем критические точки: $-2x = 0$, откуда $x=0$. Эта точка является правым концом заданного отрезка.
3. Поскольку на интервале $(-1; 0)$ производная $y' = -2x > 0$, функция на всем отрезке $[-1; 0]$ возрастает.
4. Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
$y_{min} = y(-1) = -(-1)^2 = -1$.
$y_{max} = y(0) = -(0)^2 = 0$.
Таким образом, множество значений функции на данном отрезке — это все числа от -1 до 0 включительно.
Ответ: $[-1; 0]$.

в) Требуется найти множество значений функции $y = -x^2$ на всей числовой прямой, то есть при $x \in (-\infty; +\infty)$.
1. Графиком функции $y = -x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз.
2. Вершина этой параболы находится в точке с координатами $(0; 0)$.
3. Так как ветви параболы направлены вниз, в своей вершине функция достигает наибольшего значения. Наибольшее значение равно $y(0) = 0$.
4. При $x$, стремящемся к $+\infty$ или $-\infty$, значение $x^2$ стремится к $+\infty$, а значение $-x^2$ стремится к $-\infty$.
Таким образом, функция принимает все значения от $-\infty$ до своего максимального значения 0 включительно.
Ответ: $(-\infty; 0]$.

г) Для нахождения множества значений функции $y = 2x^3$ на отрезке $x \in [-3; 3]$, воспользуемся тем, что это возрастающая функция.
1. Найдем производную функции: $y' = (2x^3)' = 6x^2$.
2. Поскольку производная $y' = 6x^2 \ge 0$ при всех значениях $x$ и обращается в ноль только в одной точке $x=0$, функция является строго возрастающей на всей числовой прямой.
3. Для возрастающей функции на отрезке ее наименьшее значение достигается на левом конце, а наибольшее — на правом.
4. Вычислим значения функции на концах отрезка:
$y_{min} = y(-3) = 2 \cdot (-3)^3 = 2 \cdot (-27) = -54$.
$y_{max} = y(3) = 2 \cdot (3)^3 = 2 \cdot 27 = 54$.
Следовательно, множество значений функции на данном отрезке — это все числа от -54 до 54 включительно.
Ответ: $[-54; 54]$.

11.9 а) На рис. 43;

б) на рис. 44;

в) на рис. 45;

г) на рис. 46.

Рис. 43

Рис. 44

Рис. 45

Рис. 46

Чтобы определить, является ли изображенная линия графиком функции, необходимо проверить, соответствует ли каждому значению аргумента $x$ (из области определения) единственное значение переменной $y$. Для этого используется графический метод, который называется "тест вертикальной прямой". Если любая вертикальная прямая вида $x = c$ пересекает график не более чем в одной точке, то этот график является графиком функции.

На рисунке 43 изображена парабола с ветвями, направленными вверх. Проведя мысленно любую вертикальную прямую, можно увидеть, что она пересечет параболу ровно в одной точке. Это означает, что для каждого значения $x$ существует уникальное значение $y$.

Следовательно, данный график является графиком функции.

Ответ: Да, является.

На рисунке 44 изображена кривая, проходящая через начало координат. Применим тест вертикальной прямой. Любая вертикальная прямая $x = c$ пересекает данный график ровно в одной точке. Это означает, что для каждого значения аргумента $x$ существует только одно значение переменной $y$.

Следовательно, график на рисунке 44 является графиком функции.

Ответ: Да, является.

На рисунке 45 изображена гипербола. Область определения этой зависимости — все действительные числа, кроме $x = 0$, поскольку в этой точке функция не определена (ось $y$ является вертикальной асимптотой). Применяя тест вертикальной прямой, мы видим, что любая прямая $x = c$ при $c \ne 0$ пересекает график ровно в одной точке. Прямая $x = 0$ не пересекает график, что соответствует отсутствию этого значения в области определения.

Поскольку каждому значению $x$ из области определения ставится в соответствие единственное значение $y$, данный график является графиком функции.

Ответ: Да, является.

На рисунке 46 изображена верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом $R = 2$. Область определения этой зависимости — отрезок $[-2, 2]$. Для любого значения $x$ из этого отрезка, включая концы $x = -2$ и $x = 2$, вертикальная прямая $x = c$ пересекает график ровно в одной точке. Если значение $x$ не принадлежит отрезку $[-2, 2]$, то вертикальная прямая не пересекает график.

Так как для каждого $x$ из области определения $[-2, 2]$ существует единственное значение $y$, данный график является графиком функции (в данном случае, функции $y = \sqrt{4 - x^2}$).

Ответ: Да, является.

11.10 а) На рис. 47;

б) на рис. 48;

в) на рис. 49;

г) на рис. 50.

Рис. 47

Рис. 48

Рис. 49

Рис. 50

Проанализируем функцию, график которой изображен на рисунке 47, и перечислим ее основные свойства.

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: функция принимает значения от -1 до 1 включительно. $E(y) = [-1; 1]$.

3. Нули функции: график пересекает ось абсцисс в точке $(0;0)$, следовательно, $y=0$ при $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$;
$y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

5. Монотонность:
Функция возрастает на отрезке $[-2; 2]$;
Функция является постоянной на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[2; +\infty)$.

6. Экстремумы:
Локальных экстремумов (точек максимума и минимума) у функции нет.
Наибольшее значение функции равно 1, достигается при $x \ge 2$.
Наименьшее значение функции равно -1, достигается при $x \le -2$.

7. Четность: функция является нечетной, так как ее график симметричен относительно начала координат ($f(-x) = -f(x)$).

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции перечислены выше. Аналитически функцию можно задать формулой: $y = \begin{cases} -1, & \text{если } x \le -2 \\ \frac{1}{8}x^3, & \text{если } -2 < x < 2 \\ 1, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$

Проанализируем функцию, график которой изображен на рисунке 48, и перечислим ее основные свойства.

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: функция принимает все неотрицательные значения. $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: график касается оси абсцисс в точке $(1;0)$, следовательно, $y=0$ при $x=1$.

4. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
Функция не принимает отрицательных значений.

5. Монотонность:
Функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $[0; 1]$;
Функция возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

6. Экстремумы:
Точка минимума $x_{min}=1$, значение в точке минимума $y_{min}=0$. Это также глобальный минимум функции.
Локальных максимумов нет.

7. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

8. Непрерывность: функция имеет разрыв первого рода (скачок) в точке $x=0$. На промежутках $(-\infty; 0)$ и $[0; +\infty)$ функция непрерывна.

Ответ: Свойства функции перечислены выше. Аналитически функцию можно задать формулой: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ (x-1)^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$. Функция имеет разрыв в точке $x=0$.

Проанализируем функцию, график которой изображен на рисунке 49. Это парабола с ветвями, направленными вниз.

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: функция принимает все неположительные значения. $E(y) = (-\infty; 0]$.

3. Нули функции: график касается оси абсцисс в точке $(0;0)$, следовательно, $y=0$ при $x=0$.

4. Промежутки знакопостоянства:
$y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$;
Функция не принимает положительных значений.

5. Монотонность:
Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$;
Функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

6. Экстремумы:
Точка максимума $x_{max}=0$, значение в точке максимума $y_{max}=0$. Это также глобальный максимум функции.

7. Четность: функция является четной, так как ее график симметричен относительно оси ординат ($f(-x) = f(x)$).

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции перечислены выше. График является параболой, заданной уравнением $y = -x^2$.

Проанализируем функцию, график которой изображен на рисунке 50. Это прямая линия.

1. Область определения: функция определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: функция принимает все действительные значения. $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции: график пересекает ось абсцисс в точке $(-1.5; 0)$, следовательно, $y=0$ при $x=-1.5$.

4. Промежутки знакопостоянства:
$y > 0$ при $x \in (-1.5; +\infty)$;
$y < 0$ при $x \in (-\infty; -1.5)$.

5. Монотонность: функция возрастает на всей области определения.

6. Экстремумы: экстремумов (точек максимума и минимума) у функции нет.

7. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида), так как ее график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.

8. Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции перечислены выше. График является прямой, заданной уравнением $y = 2x + 3$.

11.11 На рисунке построена ветвь графика функции $y = f(x)$. Постройте весь график этой функции, если известно, что:

a) $y = f(x)$ — чётная функция (рис. 51);

б) $y = f(x)$ — нечётная функция (рис. 52);

в) $y = f(x)$ — нечётная функция (рис. 53);

г) $y = f(x)$ — чётная функция (рис. 54).

Puc. 51

Puc. 52

Puc. 53

Puc. 54

а)

По определению, функция $y = f(x)$ является чётной, если для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $y$).

На рисунке 51 показана ветвь графика для $x \in [-4, 0]$. Чтобы построить полный график, необходимо отразить эту ветвь симметрично относительно оси $y$. Каждая точка $(x, y)$ на известной части графика будет соответствовать точке $(-x, y)$ на недостающей части.

Основные точки на данной ветви: $(-4, 0)$, $(-2, 4)$ и $(0, 0)$. При симметричном отражении относительно оси $y$:

• Точка $(-4, 0)$ переходит в точку $(4, 0)$.
• Точка $(-2, 4)$ переходит в точку $(2, 4)$.
• Точка $(0, 0)$ находится на оси симметрии и остается на месте.

Соединяем новые точки $(0, 0)$, $(2, 4)$ и $(4, 0)$ плавной кривой, аналогичной данной. В результате получается полный график функции, который симметричен относительно оси $y$.

Ответ: График функции дополняется ветвью, симметричной данной относительно оси $y$. Полный график состоит из двух параболических дуг, проходящих через ключевые точки: $(-4, 0)$, $(-2, 4)$, $(0, 0)$, $(2, 4)$ и $(4, 0)$.

б)

По определению, функция $y = f(x)$ является нечётной, если для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки $(0, 0)$).

На рисунке 52 показана ветвь графика для $x \in [0, 6]$. Чтобы построить полный график, нужно отразить эту ветвь симметрично относительно начала координат. Это эквивалентно повороту на 180° вокруг точки $(0, 0)$. Каждая точка $(x, y)$ на известной части графика будет соответствовать точке $(-x, -y)$ на недостающей части.

Основные точки на данной ветви: $(0, 0)$, $(3, 3)$ и $(6, 0)$. При симметричном отражении относительно начала координат:

• Точка $(0, 0)$ находится в центре симметрии и остается на месте.
• Точка $(3, 3)$ переходит в точку $(-3, -3)$.
• Точка $(6, 0)$ переходит в точку $(-6, 0)$.

Соединяем новые точки $(-6, 0)$, $(-3, -3)$ и $(0, 0)$ плавной кривой. В результате получается полный график функции, который симметричен относительно начала координат.

Ответ: График функции дополняется ветвью, симметричной данной относительно начала координат. Ключевые точки полного графика: $(-6, 0)$, $(-3, -3)$, $(0, 0)$, $(3, 3)$ и $(6, 0)$.

в)

Функция $y = f(x)$ является нечётной, следовательно, её график симметричен относительно начала координат. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ на графике точка $(-x, -y)$ также принадлежит графику.

На рисунке 53 показана ветвь графика для $x \in [-5, 0]$. Построим вторую ветвь графика для $x \ge 0$ путем симметричного отражения данной ветви относительно начала координат.

Основные точки на данной ветви: $(-5, 2)$, $(-4, 0)$, $(-2, -2)$ и $(0, 0)$. При симметричном отражении относительно начала координат:

• Точка $(-5, 2)$ переходит в точку $(5, -2)$.
• Точка $(-4, 0)$ переходит в точку $(4, 0)$.
• Точка $(-2, -2)$ переходит в точку $(2, 2)$.
• Точка $(0, 0)$ остается на месте.

Соединяем новые точки. Ветвь от $(0, 0)$ до $(4, 0)$ через $(2, 2)$ будет параболической дугой, а от $(4, 0)$ до $(5, -2)$ — отрезком прямой.

Ответ: График функции дополняется ветвью, симметричной данной относительно начала координат. Ключевые точки полного графика: $(-5, 2)$, $(-4, 0)$, $(-2, -2)$, $(0, 0)$, $(2, 2)$, $(4, 0)$ и $(5, -2)$.

г)

Функция $y = f(x)$ является чётной, поэтому её график симметричен относительно оси $y$. Для построения полного графика необходимо отразить данную на рисунке 54 ветвь (для $x \ge 0$) относительно оси ординат.

Каждая точка $(x, y)$ на известной части графика будет соответствовать точке $(-x, y)$ на недостающей части. Основные точки на данной ветви (состоящей из двух отрезков): $(0, 0)$, $(2, 2)$ и, судя по наклону и сетке, точка $(4,0)$ и конечная точка, например, $(6, -2)$.

При симметричном отражении относительно оси $y$:

• Точка $(0, 0)$ остается на месте.
• Точка $(2, 2)$ переходит в точку $(-2, 2)$.
• Точка $(4, 0)$ переходит в точку $(-4, 0)$.
• Точка $(6, -2)$ переходит в точку $(-6, -2)$.

Строим недостающую часть графика, соединяя отрезками точки $(-6, -2)$, $(-2, 2)$ и $(0, 0)$. Полный график состоит из четырех отрезков и имеет форму, напоминающую букву W.

Ответ: График функции дополняется ветвью, симметричной данной относительно оси $y$. Полный график состоит из отрезков, соединяющих последовательно точки $(-6, -2)$, $(-2, 2)$, $(0, 0)$, $(2, 2)$ и $(6, -2)$.