Страница 64, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9.16 Задайте аналитически (придумайте возможный вариант) функцию, график которой изображён:

а) на рис. 41;

б) на рис. 42.

$y = f(x)$

$y = f(x)$

Рис. 41

Рис. 42

а)

График, изображенный на рис. 41, является кусочно-заданной функцией, состоящей из трех частей. Найдем аналитическое выражение для каждой части.

1. При $x \le -5$ график представляет собой горизонтальную прямую, проходящую через точку $(-5, 4)$. Уравнение этой прямой: $y = 4$.

2. При $-5 < x < -2$ график является частью параболы. Вершина этой параболы находится в точке $(-3, 0)$. Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(x_0, y_0)$ имеет вид $y = a(x - x_0)^2 + y_0$. В нашем случае уравнение будет $y = a(x - (-3))^2 + 0$, то есть $y = a(x+3)^2$. Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся одной из точек на этом участке, например, точкой $(-2, 1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $1 = a(-2+3)^2$, что дает $1 = a \cdot 1^2$, откуда $a=1$. Итак, уравнение этой части графика: $y = (x+3)^2$. Проверим точку $(-5, 4)$: $y = (-5+3)^2 = (-2)^2 = 4$. Точка принадлежит графику, что подтверждает непрерывность функции в точке $x=-5$.

3. При $x \ge -2$ график представляет собой прямую. Эта прямая проходит через точки $(-2, 1)$ и $(0, 3)$. Найдем уравнение прямой $y = kx + b$. Угловой коэффициент $k$ равен: $k = \frac{3 - 1}{0 - (-2)} = \frac{2}{2} = 1$. Прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 3)$, следовательно, $b=3$. Уравнение прямой: $y = x + 3$. В точке $x=-2$ значение функции $y = -2+3=1$, что совпадает со значением параболической части, значит функция непрерывна.

Объединяя все части, получаем аналитическое задание функции:

$f(x) = \begin{cases} 4, & \text{если } x \le -5 \\ (x+3)^2, & \text{если } -5 < x < -2 \\ x+3, & \text{если } x \ge -2 \end{cases}$

Ответ: $f(x) = \begin{cases} 4, & \text{если } x \le -5 \\ (x+3)^2, & \text{если } -5 < x < -2 \\ x+3, & \text{если } x \ge -2 \end{cases}$

б)

График, изображенный на рис. 42, является кусочно-заданной функцией, состоящей из нескольких частей. Найдем аналитическое выражение для каждой из них.

1. В точке $x = -4$ функция имеет изолированное значение. Судя по графику, это точка с координатами $(-4; 4,5)$. Таким образом, $f(-4) = 4,5$. На графике также видна выколотая точка $(-4, 5)$, которая является пределом функции при $x \to -4^+$.

2. При $-4 < x \le -2$ график является частью параболы. Вершина этой параболы находится в точке $(-2, 1)$. Уравнение параболы: $y = a(x - (-2))^2 + 1$, то есть $y = a(x+2)^2 + 1$. Для нахождения $a$ используем точку $(-3, 2)$, через которую проходит график: $2 = a(-3+2)^2 + 1 \implies 2 = a+1 \implies a=1$. Итак, уравнение этой части: $y = (x+2)^2 + 1$.

3. При $-2 < x \le -1$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, 1)$ и $(-1, 2)$. Угловой коэффициент $k = \frac{2 - 1}{-1 - (-2)} = \frac{1}{1} = 1$. Уравнение прямой найдем по точке и коэффициенту: $y - 2 = 1(x - (-1)) \implies y-2 = x+1 \implies y = x+3$.

4. При $-1 < x \le 0$ график представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, 2)$ и $(0, 0)$. Угловой коэффициент $k = \frac{0 - 2}{0 - (-1)} = \frac{-2}{1} = -2$. Так как прямая проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид $y = kx$, то есть $y = -2x$.

5. При $x > 0$ график является ветвью функции квадратного корня. Он начинается в точке $(0, 0)$. Общий вид такой функции $y = a\sqrt{x}$. График проходит через точку $(1, 2)$. Подставим ее координаты: $2 = a\sqrt{1} \implies a=2$. Значит, уравнение этой части: $y = 2\sqrt{x}$. Проверим точку $(4, 4)$: $y = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$. Точка принадлежит графику.

Объединяя все части, получаем аналитическое задание функции:

$f(x) = \begin{cases} 4,5, & \text{если } x = -4 \\ (x+2)^2 + 1, & \text{если } -4 < x \le -2 \\ x+3, & \text{если } -2 < x \le -1 \\ -2x, & \text{если } -1 < x \le 0 \\ 2\sqrt{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Ответ: $f(x) = \begin{cases} 4,5, & \text{если } x = -4 \\ (x+2)^2 + 1, & \text{если } -4 < x \le -2 \\ x+3, & \text{если } -2 < x \le -1 \\ -2x, & \text{если } -1 < x \le 0 \\ 2\sqrt{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

9.17 Функция $y = f(x)$ задана на множестве всех натуральных чисел с помощью следующего правила: каждому числу $x$ ставится в соответствие целая часть квадратного корня из числа $x$. Найдите:

а) $f(1)$;

б) $f(8)$;

в) $f(15)$;

г) $f(22)$.

По условию, функция $y = f(x)$ сопоставляет каждому натуральному числу $x$ целую часть его квадратного корня. Это можно записать с помощью математической функции "пол" (floor) как $f(x) = \lfloor\sqrt{x}\rfloor$. Целая часть числа — это наибольшее целое число, не превосходящее само число.

а) $f(1)$

Нужно найти целую часть квадратного корня из 1.

$\sqrt{1} = 1$

Целая часть числа 1 равна 1. Таким образом, $f(1) = 1$.

Ответ: 1

б) $f(8)$

Нужно найти целую часть квадратного корня из 8.

Найдем два ближайших к 8 полных квадрата. Это $4$ и $9$.

Так как $4 < 8 < 9$, то и $\sqrt{4} < \sqrt{8} < \sqrt{9}$.

Это означает, что $2 < \sqrt{8} < 3$.

Следовательно, целая часть числа $\sqrt{8}$ равна 2. Таким образом, $f(8) = 2$.

Ответ: 2

в) $f(15)$

Нужно найти целую часть квадратного корня из 15.

Найдем два ближайших к 15 полных квадрата. Это $9$ и $16$.

Так как $9 < 15 < 16$, то и $\sqrt{9} < \sqrt{15} < \sqrt{16}$.

Это означает, что $3 < \sqrt{15} < 4$.

Следовательно, целая часть числа $\sqrt{15}$ равна 3. Таким образом, $f(15) = 3$.

Ответ: 3

г) $f(22)$

Нужно найти целую часть квадратного корня из 22.

Найдем два ближайших к 22 полных квадрата. Это $16$ и $25$.

Так как $16 < 22 < 25$, то и $\sqrt{16} < \sqrt{22} < \sqrt{25}$.

Это означает, что $4 < \sqrt{22} < 5$.

Следовательно, целая часть числа $\sqrt{22}$ равна 4. Таким образом, $f(22) = 4$.

Ответ: 4