Номер 10, страница 71, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10. Дана система уравнений $\begin{cases} x + 3y = 5, \\ x^2 + y^2 = 25. \end{cases}$ Какие пары чисел являются её решениями:

а) (5; 0);

б) (2; 1);

в) (3; 4);

г) (1; 2);

д) (-1; 2)?

Для того чтобы определить, какие из предложенных пар чисел являются решениями системы, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в оба уравнения. Пара будет являться решением только в том случае, если оба равенства окажутся верными. Также можно решить систему и сравнить полученные решения с предложенными.

Способ 1: Решение системы уравнений

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + 3y = 5 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 5 - 3y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(5 - 3y)^2 + y^2 = 25$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$25 - 30y + 9y^2 + y^2 = 25$

$10y^2 - 30y + 25 - 25 = 0$

$10y^2 - 30y = 0$

Вынесем общий множитель $10y$ за скобки:

$10y(y - 3) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $y$:

$y_1 = 0$ или $y_2 = 3$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$:

1. При $y_1 = 0$, $x_1 = 5 - 3(0) = 5$. Получаем решение $(5; 0)$.

2. При $y_2 = 3$, $x_2 = 5 - 3(3) = 5 - 9 = -4$. Получаем решение $(-4; 3)$.

Итак, решения системы: $(5; 0)$ и $(-4; 3)$. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что только пара из пункта а) является решением.

Способ 2: Проверка каждой предложенной пары

а) (5; 0)

Подставляем $x=5$ и $y=0$ в уравнения:

1) $5 + 3 \cdot 0 = 5 \implies 5 = 5$ (Верно)

2) $5^2 + 0^2 = 25 \implies 25 + 0 = 25 \implies 25 = 25$ (Верно)

Оба равенства верны.

Ответ: является решением.

б) (2; 1)

Подставляем $x=2$ и $y=1$ в уравнения:

1) $2 + 3 \cdot 1 = 2 + 3 = 5 \implies 5 = 5$ (Верно)

2) $2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$. Равенство $5 = 25$ неверно.

Второе уравнение не выполняется.

Ответ: не является решением.

в) (3; 4)

Подставляем $x=3$ и $y=4$ в уравнения:

1) $3 + 3 \cdot 4 = 3 + 12 = 15$. Равенство $15 = 5$ неверно.

Первое уравнение не выполняется.

Ответ: не является решением.

г) (1; 2)

Подставляем $x=1$ и $y=2$ в уравнения:

1) $1 + 3 \cdot 2 = 1 + 6 = 7$. Равенство $7 = 5$ неверно.

Первое уравнение не выполняется.

Ответ: не является решением.

д) (-1; 2)

Подставляем $x=-1$ и $y=2$ в уравнения:

1) $-1 + 3 \cdot 2 = -1 + 6 = 5 \implies 5 = 5$ (Верно)

2) $(-1)^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$. Равенство $5 = 25$ неверно.

Второе уравнение не выполняется.

Ответ: не является решением.

Итоговый вывод: из всех предложенных пар чисел только а) (5; 0) является решением данной системы уравнений.