Номер 2, страница 78, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Опишите алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки на примере решения системы

$\begin{cases} x + 3y = 5, \\ x^2 + y^2 = 25. \end{cases}$

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки

1. Из одного (как правило, более простого) уравнения системы выразить одну переменную через другую.
2. Подставить полученное на первом шаге выражение в другое уравнение системы. В результате этих действий получится уравнение с одной переменной.
3. Решить полученное уравнение и найти его корень (или корни).
4. Подставить каждое из найденных на третьем шаге значений переменной в выражение, полученное на первом шаге, и вычислить соответствующее значение второй переменной.
5. Записать ответ в виде пар значений $(x; y)$, которые являются решениями системы.

Пример решения системы методом подстановки

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x + 3y = 5 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$

Шаг 1: Выражение одной переменной через другую.

В первом уравнении $x + 3y = 5$ коэффициент при переменной $x$ равен 1, поэтому удобнее всего выразить именно ее:

$x = 5 - 3y$

Шаг 2: Подстановка выражения в другое уравнение.

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 25$:

$(5 - 3y)^2 + y^2 = 25$

Шаг 3: Решение полученного уравнения.

Мы получили уравнение с одной переменной $y$. Решим его. Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3y + (3y)^2 + y^2 = 25$

$25 - 30y + 9y^2 + y^2 = 25$

Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть:

$10y^2 - 30y + 25 - 25 = 0$

$10y^2 - 30y = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $10y$ за скобки:

$10y(y - 3) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, имеем два случая:

$10y = 0$ или $y - 3 = 0$

Из которых находим два значения для $y$:

$y_1 = 0$

$y_2 = 3$

Шаг 4: Нахождение значений второй переменной.

Теперь для каждого найденного значения $y$ найдем соответствующее значение $x$, используя выражение из шага 1: $x = 5 - 3y$.

Для $y_1 = 0$:

$x_1 = 5 - 3 \cdot 0 = 5$

Первое решение системы: $(5; 0)$.

Для $y_2 = 3$:

$x_2 = 5 - 3 \cdot 3 = 5 - 9 = -4$

Второе решение системы: $(-4; 3)$.

Шаг 5: Запись ответа.

Система имеет два решения.

Ответ: $(5; 0)$, $(-4; 3)$.