Номер 3, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Решение систем уравнений методом алгебраического сложения.

Метод алгебраического сложения является одним из способов решения систем линейных уравнений. Суть метода заключается в том, чтобы путем сложения или вычитания уравнений системы исключить одну из переменных, получив таким образом уравнение с одной неизвестной.

Алгоритм решения систем уравнений методом алгебраического сложения:

1. Умножить одно или оба уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами (например, $3y$ и $-3y$).
2. Сложить левые и правые части уравнений. В результате этого действия одна из переменных исчезнет.
3. Решить полученное простое уравнение с одной переменной.
4. Подставить найденное значение переменной в любое из исходных уравнений системы.
5. Решить полученное уравнение и найти значение второй переменной.
6. Записать ответ в виде пары чисел $(x; y)$.

Примеры:

а) Решить систему уравнений:

$$\begin{cases}2x + 3y = 7 \\4x - 3y = 5\end{cases}$$

В данной системе коэффициенты при переменной $y$ уже являются противоположными числами ($3$ и $-3$). Поэтому первый шаг алгоритма выполнять не нужно. Сразу перейдем к сложению уравнений.

Сложим почленно левые и правые части уравнений:

$(2x + 3y) + (4x - 3y) = 7 + 5$

Приведем подобные слагаемые:

$6x = 12$

Решим полученное уравнение:

$x = \frac{12}{6}$

$x = 2$

Теперь подставим найденное значение $x = 2$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$2(2) + 3y = 7$

$4 + 3y = 7$

$3y = 7 - 4$

$3y = 3$

$y = 1$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$.

б) Решить систему уравнений:

$$\begin{cases}5x - 2y = 11 \\4x + 3y = 22\end{cases}$$

В этой системе нет переменных с одинаковыми или противоположными коэффициентами. Воспользуемся первым шагом алгоритма. Уравняем по модулю коэффициенты при переменной $y$. Для этого умножим первое уравнение на $3$, а второе на $2$.

$$\begin{cases}(5x - 2y) \cdot 3 = 11 \cdot 3 \\(4x + 3y) \cdot 2 = 22 \cdot 2\end{cases}$$

Получим новую систему, равносильную исходной:

$$\begin{cases}15x - 6y = 33 \\8x + 6y = 44\end{cases}$$

Теперь коэффициенты при $y$ — это $-6$ и $6$. Сложим уравнения:

$(15x - 6y) + (8x + 6y) = 33 + 44$

$23x = 77$

$x = \frac{77}{23}$

$x = 3 \frac{8}{23}$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение исходной системы (в него подставлять удобнее):

$4 \cdot (\frac{77}{23}) + 3y = 22$

$\frac{308}{23} + 3y = 22$

$3y = 22 - \frac{308}{23}$

$3y = \frac{22 \cdot 23}{23} - \frac{308}{23}$

$3y = \frac{506 - 308}{23}$

$3y = \frac{198}{23}$

$y = \frac{198}{23 \cdot 3}$

$y = \frac{66}{23}$

$y = 2 \frac{20}{23}$

Решение системы — пара чисел $(\frac{77}{23}; \frac{66}{23})$.

Ответ: $(\frac{77}{23}; \frac{66}{23})$.