Номер 5, страница 85, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Графический метод решения систем уравнений и систем неравенств с двумя переменными.

Графический метод решения систем уравнений с двумя переменными

Графический метод решения системы двух уравнений с двумя переменными, например $x$ и $y$, заключается в построении графиков каждого уравнения в одной и той же системе координат и нахождении точек их пересечения. Координаты этих точек и являются решениями системы.

Рассмотрим систему уравнений вида: $$ \begin{cases} f_1(x, y) = 0 \\ f_2(x, y) = 0 \end{cases} $$ Решением такой системы является пара чисел $(x_0, y_0)$, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям.

Алгоритм решения:

1. Построить график первого уравнения $f_1(x, y) = 0$ в декартовой системе координат $Oxy$. Каждая точка этого графика представляет собой пару $(x, y)$, удовлетворяющую первому уравнению.
2. В той же системе координат построить график второго уравнения $f_2(x, y) = 0$.
3. Найти координаты всех точек пересечения построенных графиков.
4. Координаты каждой точки пересечения $(x_0, y_0)$ являются решением системы уравнений. Если графики не пересекаются, система не имеет решений. Если графики совпадают, система имеет бесконечное множество решений.

Пример:

Решить систему уравнений: $$ \begin{cases} x - y = -1 \\ x^2 + y = 5 \end{cases} $$

1. Преобразуем уравнения к виду, удобному для построения графиков: $$ \begin{cases} y = x + 1 \\ y = 5 - x^2 \end{cases} $$ 2. Построим график первого уравнения $y = x + 1$. Это прямая линия, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.
3. В той же системе координат построим график второго уравнения $y = 5 - x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 5)$.
4. Найдем точки пересечения графиков. Из чертежа видно, что графики пересекаются в двух точках: $A(-2, -1)$ и $B(1, 2)$.
5. Проверим, подставив координаты точек в исходную систему:
Для точки $A(-2, -1)$: $$ \begin{cases} (-2) - (-1) = -1 \quad (\text{верно}) \\ (-2)^2 + (-1) = 4 - 1 = 3 \ne 5 \end{cases} $$ Ой, похоже, при построении была допущена неточность. Давайте решим аналитически для проверки: $x+1 = 5-x^2 \implies x^2+x-4=0$. Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$. Как видно, графический метод дает лишь приблизительные значения, если точки пересечения не целочисленные.

Давайте рассмотрим более подходящий для этого метода пример: $$ \begin{cases} x + y = 3 \\ y = x^2 - 1 \end{cases} $$ 1. График $x + y = 3$ или $y = 3 - x$ — прямая линия, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.
2. График $y = x^2 - 1$ — парабола, ветви вверх, вершина в $(0, -1)$.
3. Построив графики, мы увидим точки пересечения $A(-2, 5)$ и $B(2, 1)$. Ой, снова ошибка в расчетах. Точка B(2,1) не лежит на параболе: $1 \ne 2^2-1=3$. Точка А(-2,5) не лежит на параболе: $5 \ne (-2)^2-1=3$.

Давайте возьмем систему, где точно есть целочисленные решения. $$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = x + 2 \end{cases} $$ 1. График $y = x^2$ — стандартная парабола с вершиной в $(0,0)$.
2. График $y = x+2$ — прямая, проходящая через точки $(0,2)$ и $(-2,0)$.
3. Построив графики, мы найдем две точки пересечения: $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.
4. Проверка:
Для точки $(-1, 1)$: $1 = (-1)^2$ (верно), $1 = -1 + 2$ (верно).
Для точки $(2, 4)$: $4 = 2^2$ (верно), $4 = 2 + 2$ (верно).
Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(-1, 1)$ и $(2, 4)$.

Недостатком метода является его неточность. Если координаты точек пересечения — нецелые или иррациональные числа, их можно найти лишь приблизительно.

Ответ: Чтобы решить систему уравнений графически, нужно построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти координаты их точек пересечения. Эти координаты и будут решениями системы.

Графический метод решения систем неравенств с двумя переменными

Решением неравенства с двумя переменными является множество точек на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют данному неравенству. Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого из неравенств, входящих в систему.

Рассмотрим систему неравенств вида: $$ \begin{cases} F_1(x, y) > 0 \\ F_2(x, y) < 0 \end{cases} $$ (знаки неравенств могут быть любыми: $>, <, \ge, \le$).

Алгоритм решения:

1. Для каждого неравенства системы выполнить следующие шаги:
   1. Заменить знак неравенства на знак равенства и построить график получившегося уравнения. Эта линия (кривая) называется граничной. Она разделяет плоскость на две или более области.
   2. Если неравенство строгое ($>$ или <), граничную линию изображают пунктиром. Это означает, что точки на самой линии не входят в решение.
   3. Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), граничную линию изображают сплошной линией. Точки на линии входят в решение.
   4. Выбрать в одной из областей, на которые линия разделила плоскость, "пробную точку" (удобнее всего использовать $(0,0)$, если она не лежит на границе).
   5. Подставить координаты пробной точки в исходное неравенство. Если получилось верное числовое неравенство, то вся область, содержащая пробную точку, является решением. Если неверное — то решением является другая область.
   6. Заштриховать найденную область.
2. Выполнив эти шаги для каждого неравенства системы в одной и той же системе координат, найти общую область, где пересекаются все заштрихованные регионы. Эта пересекающаяся область и является графическим решением системы неравенств.

Пример:

Решить систему неравенств: $$ \begin{cases} y \ge x - 1 \\ x + y < 4 \end{cases} $$

1. Решаем первое неравенство $y \ge x - 1$:
- Граничная линия: $y = x - 1$. Это прямая.
- Неравенство нестрогое ($\ge$), поэтому линию рисуем сплошной.
- Берем пробную точку $(0,0)$: $0 \ge 0 - 1 \implies 0 \ge -1$. Это верное неравенство. - Значит, заштриховываем полуплоскость, которая содержит точку $(0,0)$, то есть область выше прямой $y = x - 1$.

2. Решаем второе неравенство $x + y < 4$ (или $y < 4 - x$):
- Граничная линия: $y = 4 - x$. Это прямая.
- Неравенство строгое (<), поэтому линию рисуем пунктирной.
- Берем пробную точку $(0,0)$: $0 + 0 < 4 \implies 0 < 4$. Это верное неравенство. - Значит, заштриховываем полуплоскость, которая содержит точку $(0,0)$, то есть область ниже прямой $y = 4 - x$.

3. Находим решение системы:
Решением системы является область на координатной плоскости, где пересекаются штриховки от обоих неравенств. Это будет область, расположенная одновременно выше сплошной линии $y = x - 1$ и ниже пунктирной линии $y = 4 - x$.

Ответ: Чтобы решить систему неравенств графически, нужно для каждого неравенства построить его граничную линию и заштриховать область, являющуюся его решением. Пересечение всех заштрихованных областей является решением системы.