Номер 2, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Приведите пример аналитического задания кусочной функции.

Кусочная функция (или кусочно-заданная функция) — это функция, которая задаётся разными формулами на разных промежутках своей области определения. Аналитический способ задания такой функции как раз и состоит в том, чтобы указать эти формулы и соответствующие им промежутки (условия).

Стандартная форма аналитического задания кусочной функции использует систему с фигурной скобкой, которая объединяет несколько выражений.

Приведём пример. Пусть функция $y = f(x)$ задана следующим образом:

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \le -1 \\ 1, & \text{если } -1 < x < 1 \\ 2 - x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

Такая запись означает, что для вычисления значения функции нужно сначала определить, какому из трёх промежутков принадлежит аргумент $x$, а затем применить соответствующую формулу:
• Для всех значений $x$ на промежутке $(-\infty, -1]$, то есть $x \le -1$, значение функции вычисляется как $f(x) = x^2 + 2x$. Графиком на этом участке будет часть параболы.
• Для всех значений $x$ на интервале $(-1, 1)$, то есть $-1 < x < 1$, значение функции является константой и равно $1$. Графиком будет горизонтальный отрезок (без конечных точек).
• Для всех значений $x$ на промежутке $[1, +\infty)$, то есть $x \ge 1$, значение функции вычисляется как $f(x) = 2 - x$. Графиком будет луч прямой линии.

Таким образом, мы полностью определили функцию для любого действительного числа $x$ с помощью набора из трёх формул, каждая из которых применяется к своему "куску" числовой оси.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & \text{если } x \le -1 \\ 1, & \text{если } -1 < x < 1 \\ 2 - x, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$