Номер 2, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Как, глядя на график функции, найти промежутки её монотонности? Проиллюстрируйте свой ответ по графику какой-нибудь кусочной функции.

Как найти промежутки монотонности по графику функции

Промежутки монотонности — это интервалы по оси абсцисс (оси $x$), на которых функция ведет себя предсказуемо: только возрастает, только убывает или является постоянной. Чтобы найти их, глядя на график, нужно мысленно "пройти" по кривой слева направо и определить, куда она направлена.

• Промежутки возрастания: это участки, где график функции при движении слева направо идет вверх. Формально, функция $f(x)$ возрастает на интервале, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, таких что $x_1 < x_2$, выполняется условие $f(x_1) < f(x_2)$.
• Промежутки убывания: это участки, где график функции при движении слева направо идет вниз. Формально, функция $f(x)$ убывает на интервале, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, таких что $x_1 < x_2$, выполняется условие $f(x_1) > f(x_2)$.
• Промежутки постоянства: это участки, где график представляет собой горизонтальную прямую. На таких участках значение функции не меняется. Формально, $f(x_1) = f(x_2)$ для любых $x_1$ и $x_2$ из этого интервала.

Точки, в которых возрастание сменяется убыванием (локальные максимумы) или убывание сменяется возрастанием (локальные минимумы), называются точками экстремума. Они служат границами промежутков монотонности.

Ответ: Для нахождения промежутков монотонности по графику необходимо определить интервалы по оси $x$, на которых график функции поднимается (возрастание), опускается (убывание) или является горизонтальной линией (постоянство). Границами этих интервалов являются точки экстремумов и точки "перелома" графика.

Иллюстрация на примере кусочной функции

Рассмотрим график некоторой кусочной функции и определим ее промежутки монотонности.

Анализируем график, двигаясь слева направо по оси $x$:

1. На промежутке от $-\infty$ до $x = -2$ график идет вниз. Это значит, что функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$.
2. В точке $x = -2$ находится локальный минимум. Здесь убывание сменяется возрастанием.
3. На промежутке от $x = -2$ до $x = 1$ график идет вверх. Это значит, что функция возрастает на промежутке $[-2, 1]$.
4. На промежутке от $x = 1$ до $x = 4$ график представляет собой горизонтальный отрезок. Это значит, что функция постоянна на промежутке $[1, 4]$.
5. При $x = 4$ постоянство сменяется убыванием.
6. На промежутке от $x = 4$ до $+\infty$ график снова идет вниз. Это значит, что функция убывает на промежутке $[4, +\infty)$.

Объединяя участки с одинаковым поведением, получаем окончательный результат.

Ответ:
Функция возрастает на промежутке: $[-2, 1]$.
Функция убывает на промежутках: $(-\infty, -2]$ и $[4, +\infty)$.
Функция постоянна на промежутке: $[1, 4]$.