Номер 8, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

8. Приведите пример функции, заданной графически, ограниченной снизу на некотором промежутке и достигающей на этом промежутке своего наименьшего значения.

Для иллюстрации требуемых свойств рассмотрим квадратичную функцию $y = f(x) = x^2$ на замкнутом промежутке (отрезке) $X = [-2, 3]$.

1. Графическое представление функции

Графиком функции $y = x^2$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат, точке $(0, 0)$. На промежутке $[-2, 3]$ мы рассматриваем часть этой параболы, которая начинается в точке $(-2, 4)$, проходит через вершину $(0, 0)$ и заканчивается в точке $(3, 9)$.

2. Ограниченность функции снизу

Функция называется ограниченной снизу на множестве $X$, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из $X$ выполняется неравенство $f(x) \ge m$.

Для функции $y = x^2$ на промежутке $[-2, 3]$ такое условие выполняется. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то для любого $x \in [-2, 3]$ справедливо неравенство $x^2 \ge 0$. Следовательно, функция ограничена снизу, например, числом $m = 0$. Все точки графика на данном промежутке лежат не ниже прямой $y = 0$ (оси абсцисс).

3. Достижение наименьшего значения

Функция достигает своего наименьшего значения на множестве $X$, если существует точка $x_0 \in X$, в которой значение функции равно ее точной нижней грани на этом множестве.

В нашем случае наименьшее значение функции $y = x^2$ на отрезке $[-2, 3]$ равно $0$. Это значение функция принимает в точке $x_0 = 0$. Поскольку точка $x_0 = 0$ принадлежит промежутку $[-2, 3]$, мы можем утверждать, что функция достигает своего наименьшего значения на этом промежутке. На графике это точка $(0, 0)$ — вершина параболы, которая является самой низкой точкой графика на рассматриваемом отрезке.

Ответ: Примером функции, заданной графически, ограниченной снизу на некотором промежутке и достигающей на этом промежутке своего наименьшего значения, является функция $y=x^2$ на промежутке $[-2, 3]$. Эта функция ограничена снизу числом $0$ (так как $x^2 \ge 0$ для всех $x$), и она достигает своего наименьшего значения $y_{min}=0$ в точке $x=0$, которая принадлежит данному промежутку. Графическое представление приведено выше.