Номер 2, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Чётные и нечётные функции. Глава 3. Числовые функции. ч. 1 - номер 2, страница 119.

2. Какую функцию называют нечётной?

Функцию $y = f(x)$ называют нечётной, если она удовлетворяет двум строгим условиям.

Во-первых, её область определения $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (точки 0). Это означает, что для любого значения $x$, принадлежащего области определения, противоположное значение $-x$ также должно принадлежать этой области. Например, интервалы $(-5, 5)$, отрезки $[-10, 10]$ и вся числовая прямая $(-\infty, +\infty)$ являются симметричными множествами, а вот отрезок $[0, 4]$ или интервал $(-1, 3)$ — нет.

Во-вторых, для любого значения $x$ из области определения функции должно выполняться равенство: $f(-x) = -f(x)$. Это ключевое свойство нечётной функции, которое показывает, что противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные по знаку значения функции.

Геометрически это свойство проявляется в том, что график нечётной функции симметричен относительно начала координат. Если взять любую точку $(a, b)$ на графике, то точка с противоположными координатами $(-a, -b)$ также обязательно будет лежать на этом графике. Другими словами, если повернуть график на 180 градусов вокруг точки $(0, 0)$, он полностью совпадет сам с собой.

Примерами нечётных функций служат:

• $y=x^n$ для любого нечётного целого $n$ (например, $y=x$, $y=x^3$, $y=x^5$). Именно отсюда и происходит название "нечётная" функция. Для $y=x^3$: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$.
• $y=\sin(x)$, так как $\sin(-x) = -\sin(x)$.
• $y=\tan(x)$, так как $\tan(-x) = -\tan(x)$.
• $y=\frac{k}{x}$, так как $f(-x) = \frac{k}{-x} = - \frac{k}{x} = -f(x)$.

Ответ: Нечётной называют функцию $y=f(x)$, для которой, во-первых, область определения симметрична относительно нуля, и, во-вторых, для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.