Номер 5, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Может ли быть чётной или нечётной функция $y = f(x)$, $x \in [0; +\infty)$?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо вспомнить определения чётной и нечётной функций.

Чётная функция

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если выполняются два условия:

1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат. Это означает, что если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$.
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

В данной задаче область определения функции – это промежуток $x \in [0; +\infty)$. Проверим, является ли он симметричным. Возьмём любое число из этого промежутка, отличное от нуля, например, $x=3$. Точка $x=3$ принадлежит области определения. Однако точка $-x = -3$ не принадлежит промежутку $[0; +\infty)$.

Поскольку первое, ключевое условие симметричности области определения не выполняется, функция не может быть чётной. Мы даже не можем проверить второе условие $f(-x) = f(x)$ для любого $x > 0$, так как значение $f(-x)$ не определено.

Исключением мог бы быть случай, когда область определения состоит только из одной точки $x=0$. Множество $\{0\}$ симметрично, и любая функция, определенная только в этой точке, является чётной ($f(-0)=f(0)$). Но в задаче дана область определения $[0; +\infty)$, которая содержит бесконечно много других точек.

Ответ: Нет, функция с областью определения $[0; +\infty)$ не может быть чётной.

Нечётная функция

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если выполняются два условия:

1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то же самое условие, что и для чётной функции).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Как мы уже установили, область определения $x \in [0; +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат. Следовательно, первое условие для нечётной функции также не выполняется.

По той же причине, что и в предыдущем пункте, функция с такой областью определения не может быть классифицирована как нечётная.

В случае, если бы область определения была только точкой $x=0$, функция была бы нечётной при условии $f(0) = -f(0)$, что равносильно $2f(0)=0$, то есть $f(0)=0$. Но, как и ранее, это не соответствует заданной области определения.

Ответ: Нет, функция с областью определения $[0; +\infty)$ не может быть нечётной.