Номер 1, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Покажите схематически, как выглядит график функции $y = x^{2n}, n \in \mathbb{N}$.

1.

Рассмотрим функцию $y = x^{2n}$, где $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, т.е. $n = 1, 2, 3, \ldots$).

Показатель степени $2n$ всегда является положительным чётным целым числом. Например:

• При $n=1$, получаем функцию $y = x^2$ (стандартная парабола).
• При $n=2$, получаем функцию $y = x^4$.
• При $n=3$, получаем функцию $y = x^6$.

Все эти функции обладают рядом общих свойств, которые и определяют схематический вид их графиков:

1. Область определения: Функция определена для любых действительных значений $x$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Так как любое действительное число, возведённое в чётную степень, является неотрицательным, то $y \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$. График целиком лежит в верхней полуплоскости.
3. Чётность: Функция является чётной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^{2n} = x^{2n} = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).
4. Опорные точки: Все графики семейства $y = x^{2n}$ проходят через три общие точки, так как их координаты не зависят от $n$:
   • Точка $(-1, 1)$, поскольку $(-1)^{2n} = 1$.
   • Точка $(0, 0)$, поскольку $0^{2n} = 0$.
   • Точка $(1, 1)$, поскольку $1^{2n} = 1$.
5. Поведение в зависимости от n: С увеличением натурального числа $n$ (т.е. с ростом показателя степени $2n$) форма графика меняется следующим образом:
   • В интервале $x \in (-1, 1)$, чем больше $n$, тем меньше значение $x^{2n}$. Поэтому график становится более "плоским" и сильнее прижимается к оси абсцисс ($Ox$). Например, $(0.5)^4 = 0.0625$, что меньше, чем $(0.5)^2 = 0.25$.
   • При $|x| > 1$, чем больше $n$, тем больше значение $x^{2n}$. Поэтому график становится более "крутым" и растет гораздо быстрее. Например, $2^4 = 16$, что больше, чем $2^2 = 4$.

Таким образом, схематически график функции $y = x^{2n}$ представляет собой U-образную кривую, симметричную относительно оси $Oy$, проходящую через начало координат. Чем больше $n$, тем более плоским становится "дно" кривой в окрестности точки $(0,0)$ и тем круче поднимаются ее "ветви".

Ниже приведено схематическое изображение графиков для $n=1$ ($y=x^2$) и $n=2$ ($y=x^4$) для сравнения.

На рисунке синим цветом показан график функции $y=x^2$ ($n=1$), а красным цветом — график функции $y=x^4$ ($n=2$). Видно, что красный график ($n=2$) лежит ниже синего на интервале $(-1,1)$ и выше — за пределами этого интервала, что иллюстрирует описанные свойства.

Ответ: График функции $y = x^{2n}$ при $n \in \mathbb{N}$ — это U-образная кривая, симметричная относительно оси ординат ($Oy$), проходящая через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. График расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). С увеличением $n$ дно графика на интервале $(-1, 1)$ становится более плоским и прижимается к оси абсцисс, а ветви при $|x| > 1$ становятся более крутыми.