Номер 3, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3. В каком случае числовое множество называют симметричным?

Числовое множество называют симметричным (или симметричным относительно нуля), если для любого элемента $x$, принадлежащего этому множеству, противоположный ему элемент $-x$ также принадлежит этому множеству.

Иными словами, если взять любое число из этого множества, то число с противоположным знаком тоже должно в нем находиться.

Формальное определение: множество $X \subset R$ является симметричным, если выполняется условие: $∀x \in X \implies -x \in X$.

Геометрически это означает, что точки множества на числовой прямой расположены симметрично относительно начала координат (точки 0).

Примеры симметричных множеств:

• Интервал $(-a, a)$, например, $(-5, 5)$. Для любого числа $x$ из этого интервала (например, $x=4.1$), число $-x$ (т.е. $-4.1$) также находится в этом интервале.
• Отрезок $[-a, a]$, например, $[-1, 1]$.
• Множество всех действительных чисел $R$.
• Объединение симметричных промежутков, например, $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.
• Дискретное множество, содержащее пары противоположных чисел, например, $\{-100, -5, 5, 100\}$.

Примеры несимметричных множеств:

• Интервал $(1, 10)$. Он содержит число $2$, но не содержит $-2$.
• Полуинтервал $[-3, 3)$. Он содержит $-3$, но не содержит $3$.
• Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

Ответ: Числовое множество называют симметричным, если для каждого числа, входящего в это множество, противоположное ему по знаку число также входит в это множество.