Номер 13, страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

13. Какую функцию называют выпуклой вниз; выпуклой вверх? Приведите пример функции, выпуклой вниз, выпуклой вверх.

Какую функцию называют выпуклой вниз

Функция $f(x)$ называется выпуклой вниз (или просто выпуклой) на некотором интервале, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала отрезок, соединяющий точки графика $(x_1, f(x_1))$ и $(x_2, f(x_2))$, лежит не ниже самого графика. Для функции, которая является дважды дифференцируемой на интервале, это условие равносильно тому, что ее вторая производная неотрицательна на этом интервале: $f''(x) \ge 0$. Геометрически график такой функции "смотрит" изгибом вверх.

Какую функцию называют выпуклой вверх

Функция $f(x)$ называется выпуклой вверх (или вогнутой) на некотором интервале, если для любых двух точек $x_1$ и $x_2$ из этого интервала отрезок, соединяющий точки графика $(x_1, f(x_1))$ и $(x_2, f(x_2))$, лежит не выше самого графика. Для дважды дифференцируемой функции это условие равносильно тому, что ее вторая производная неположительна на этом интервале: $f''(x) \le 0$. Геометрически график такой функции "смотрит" изгибом вниз.

Пример функции, выпуклой вниз

Рассмотрим в качестве примера квадратичную функцию $f(x) = x^2$. Найдем ее вторую производную, чтобы определить направление выпуклости.
Первая производная: $f'(x) = (x^2)' = 2x$.
Вторая производная: $f''(x) = (2x)' = 2$.
Поскольку вторая производная $f''(x) = 2$ является положительным числом для любого значения $x$, функция $f(x) = x^2$ выпукла вниз на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$.
Ответ: $f(x) = x^2$.

Пример функции, выпуклой вверх

Рассмотрим в качестве примера квадратичную функцию $f(x) = -x^2$. Найдем ее вторую производную.
Первая производная: $f'(x) = (-x^2)' = -2x$.
Вторая производная: $f''(x) = (-2x)' = -2$.
Поскольку вторая производная $f''(x) = -2$ является отрицательным числом для любого значения $x$, функция $f(x) = -x^2$ выпукла вверх на всей своей области определения $(-\infty, +\infty)$.
Ответ: $f(x) = -x^2$.