Номер 11, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11. Приведите пример функции, заданной графически, ограниченной сверху на некотором промежутке и не имеющей на этом промежутке наибольшего значения.

Для того чтобы функция была ограничена сверху на некотором промежутке, но не имела на нем наибольшего значения, необходимо, чтобы ее значения приближались к некоторой верхней границе, но никогда ее не достигали. Такая ситуация возникает, когда точная верхняя грань (супремум) множества значений функции на данном промежутке не принадлежит этому множеству.

Рассмотрим в качестве примера линейную функцию $f(x) = x$ на полуинтервале $X = [0, 1)$.

1. Ограниченность сверху. Множеством значений данной функции на промежутке $[0, 1)$ является полуинтервал $[0, 1)$. Для любого значения $y$ из этого множества выполняется неравенство $y < 1$. Следовательно, существует число, которое больше или равно любому значению функции, например, число $M=1$. Это означает, что функция $f(x) = x$ ограничена сверху на промежутке $[0, 1)$.

2. Отсутствие наибольшего значения. Наибольшее значение функции на промежутке — это такое ее значение, которое не меньше всех остальных значений на этом промежутке. Точной верхней гранью (супремумом) множества значений $[0, 1)$ является число 1. Однако, само число 1 не принадлежит этому множеству. Для любого значения $f(x_0) = x_0$, где $x_0 \in [0, 1)$, можно найти другое значение $x_1 = (x_0 + 1) / 2$, которое также принадлежит промежутку $[0, 1)$ и для которого $f(x_1) = x_1 > x_0 = f(x_0)$. Это означает, что какого бы «кандидата» на наибольшее значение мы ни взяли, всегда найдется значение больше. Таким образом, функция не имеет наибольшего значения на данном промежутке.

Графическое представление:

График функции $f(x) = x$ на промежутке $[0, 1)$ представляет собой отрезок прямой линии, соединяющий точку $(0, 0)$ и точку $(1, 1)$. При этом точка $(0, 0)$ принадлежит графику (так как $0 \in [0, 1)$) и изображается закрашенным кружком, а точка $(1, 1)$ не принадлежит графику (так как $1 \notin [0, 1)$) и изображается пустым (выколотым) кружком.

На графике видно, что все точки функции лежат ниже или на прямой $y=1$. При этом точка $(1, 1)$, которая соответствовала бы наибольшему значению, выколота, то есть не принадлежит графику функции на заданном промежутке.

Ответ: Примером такой функции является $f(x) = x$ на промежутке $[0, 1)$. Функция ограничена сверху числом 1, но не имеет на этом промежутке наибольшего значения, так как ее значения стремятся к 1, но никогда его не достигают. График функции представлен выше.