Номер 1, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 11. Чётные и нечётные функции. Глава 3. Числовые функции. ч. 1 - номер 1, страница 119.

1. Какую функцию называют чётной?

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняются два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно начала координат. Это означает, что если число $x$ принадлежит области определения, то и противоположное ему число $-x$ также принадлежит этой области.
2. Для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство: $f(-x) = f(x)$.

Простыми словами, значение чётной функции не изменяется, если знак её аргумента поменять на противоположный.

Геометрический смысл этого свойства заключается в том, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и точка с координатами $(-x_0, y_0)$ также обязательно принадлежит этому графику.

Примеры чётных функций:

• Степенная функция с чётным натуральным показателем, например, $f(x) = x^2$. Проверка: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. График этой функции — парабола, симметричная относительно оси $Oy$.
• Функция косинуса $f(x) = \cos(x)$. Это одна из основных тригонометрических функций, для которой выполняется тождество $\cos(-x) = \cos(x)$.
• Функция модуля (абсолютной величины) $f(x) = |x|$. Проверка: $f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$.
• Любая константа $f(x) = C$. Проверка: $f(-x) = C = f(x)$.
• Многочлен, содержащий только чётные степени переменной, например, $f(x) = 5x^6 - 2x^4 + 7$. Проверка: $f(-x) = 5(-x)^6 - 2(-x)^4 + 7 = 5x^6 - 2x^4 + 7 = f(x)$.

Ответ: Чётной называют функцию $y=f(x)$, область определения которой симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.