Номер 4, страница 119, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Объясните, почему является или не является симметричным множество:

а) $(-3; 3);$

б) $(-2; 2];$

в) $[-1; 2];$

г) $(-\infty; +\infty);$

д) $\{-1, 2, 3, -2, -3, 1\}.$

Множество $D$ называется симметричным относительно начала координат, если для любого элемента $x$, принадлежащего этому множеству, противоположный ему элемент $-x$ также принадлежит этому множеству. Это можно записать в виде условия: если $x \in D$, то и $-x \in D$.

а) Множество $(-3; 3)$ является симметричным.
Это интервал от $-3$ до $3$, не включая концы. Пусть $x$ — произвольное число из этого интервала, то есть $-3 < x < 3$. Умножим все части этого неравенства на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $3 > -x > -3$, что равносильно $-3 < -x < 3$. Это означает, что для любого числа $x$ из интервала $(-3; 3)$ противоположное ему число $-x$ также лежит в этом интервале.
Ответ: является симметричным.

б) Множество $(-2; 2]$ не является симметричным.
Это полуинтервал. Рассмотрим элемент $x = 2$. Он принадлежит данному множеству, так как $2 \in (-2; 2]$. Однако противоположный ему элемент $-x = -2$ не принадлежит этому множеству, так как левая граница интервала не включается в множество (интервал открыт слева). Поскольку мы нашли элемент, для которого условие симметричности не выполняется, множество не является симметричным.
Ответ: не является симметричным.

в) Множество $[-1; 2]$ не является симметричным.
Это отрезок. Рассмотрим элемент $x = 2$. Он принадлежит данному множеству, так как $2 \in [-1; 2]$. Однако противоположный ему элемент $-x = -2$ не принадлежит этому множеству, так как $-2 < -1$. Поскольку нашёлся элемент, для которого условие симметричности не выполняется, множество не является симметричным.
Ответ: не является симметричным.

г) Множество $(-\infty; +\infty)$ является симметричным.
Это множество всех действительных чисел, обозначаемое как $\mathbb{R}$. Для любого действительного числа $x$ существует противоположное ему число $-x$, которое также является действительным. Таким образом, для любого $x \in (-\infty; +\infty)$ верно, что и $-x \in (-\infty; +\infty)$.
Ответ: является симметричным.

д) Множество $\{-1, 2, 3, -2, -3, 1\}$ является симметричным.
Это конечное множество. Упорядочим его элементы для наглядности: $\{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}$. Проверим для каждого элемента, есть ли в множестве ему противоположный:
Для $x=1$ в множестве есть $-x=-1$.
Для $x=2$ в множестве есть $-x=-2$.
Для $x=3$ в множестве есть $-x=-3$.
Так как для каждого элемента $x$ в множестве есть и $-x$ (и наоборот), то множество является симметричным.
Ответ: является симметричным.