Страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Какую функцию называют чётной?

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняются два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно начала координат. Это означает, что если число $x$ принадлежит области определения, то и противоположное ему число $-x$ также принадлежит этой области.
2. Для любого значения $x$ из области определения функции выполняется равенство: $f(-x) = f(x)$.

Простыми словами, значение чётной функции не изменяется, если знак её аргумента поменять на противоположный.

Геометрический смысл этого свойства заключается в том, что график чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$). Если точка с координатами $(x_0, y_0)$ принадлежит графику, то и точка с координатами $(-x_0, y_0)$ также обязательно принадлежит этому графику.

Примеры чётных функций:

• Степенная функция с чётным натуральным показателем, например, $f(x) = x^2$. Проверка: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. График этой функции — парабола, симметричная относительно оси $Oy$.
• Функция косинуса $f(x) = \cos(x)$. Это одна из основных тригонометрических функций, для которой выполняется тождество $\cos(-x) = \cos(x)$.
• Функция модуля (абсолютной величины) $f(x) = |x|$. Проверка: $f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$.
• Любая константа $f(x) = C$. Проверка: $f(-x) = C = f(x)$.
• Многочлен, содержащий только чётные степени переменной, например, $f(x) = 5x^6 - 2x^4 + 7$. Проверка: $f(-x) = 5(-x)^6 - 2(-x)^4 + 7 = 5x^6 - 2x^4 + 7 = f(x)$.

Ответ: Чётной называют функцию $y=f(x)$, область определения которой симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

2. Какую функцию называют нечётной?

Функцию $y = f(x)$ называют нечётной, если она удовлетворяет двум строгим условиям.

Во-первых, её область определения $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (точки 0). Это означает, что для любого значения $x$, принадлежащего области определения, противоположное значение $-x$ также должно принадлежать этой области. Например, интервалы $(-5, 5)$, отрезки $[-10, 10]$ и вся числовая прямая $(-\infty, +\infty)$ являются симметричными множествами, а вот отрезок $[0, 4]$ или интервал $(-1, 3)$ — нет.

Во-вторых, для любого значения $x$ из области определения функции должно выполняться равенство: $f(-x) = -f(x)$. Это ключевое свойство нечётной функции, которое показывает, что противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные по знаку значения функции.

Геометрически это свойство проявляется в том, что график нечётной функции симметричен относительно начала координат. Если взять любую точку $(a, b)$ на графике, то точка с противоположными координатами $(-a, -b)$ также обязательно будет лежать на этом графике. Другими словами, если повернуть график на 180 градусов вокруг точки $(0, 0)$, он полностью совпадет сам с собой.

Примерами нечётных функций служат:

• $y=x^n$ для любого нечётного целого $n$ (например, $y=x$, $y=x^3$, $y=x^5$). Именно отсюда и происходит название "нечётная" функция. Для $y=x^3$: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$.
• $y=\sin(x)$, так как $\sin(-x) = -\sin(x)$.
• $y=\tan(x)$, так как $\tan(-x) = -\tan(x)$.
• $y=\frac{k}{x}$, так как $f(-x) = \frac{k}{-x} = - \frac{k}{x} = -f(x)$.

Ответ: Нечётной называют функцию $y=f(x)$, для которой, во-первых, область определения симметрична относительно нуля, и, во-вторых, для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

3. В каком случае числовое множество называют симметричным?

Числовое множество называют симметричным (или симметричным относительно нуля), если для любого элемента $x$, принадлежащего этому множеству, противоположный ему элемент $-x$ также принадлежит этому множеству.

Иными словами, если взять любое число из этого множества, то число с противоположным знаком тоже должно в нем находиться.

Формальное определение: множество $X \subset R$ является симметричным, если выполняется условие: $∀x \in X \implies -x \in X$.

Геометрически это означает, что точки множества на числовой прямой расположены симметрично относительно начала координат (точки 0).

Примеры симметричных множеств:

• Интервал $(-a, a)$, например, $(-5, 5)$. Для любого числа $x$ из этого интервала (например, $x=4.1$), число $-x$ (т.е. $-4.1$) также находится в этом интервале.
• Отрезок $[-a, a]$, например, $[-1, 1]$.
• Множество всех действительных чисел $R$.
• Объединение симметричных промежутков, например, $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.
• Дискретное множество, содержащее пары противоположных чисел, например, $\{-100, -5, 5, 100\}$.

Примеры несимметричных множеств:

• Интервал $(1, 10)$. Он содержит число $2$, но не содержит $-2$.
• Полуинтервал $[-3, 3)$. Он содержит $-3$, но не содержит $3$.
• Множество натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

Ответ: Числовое множество называют симметричным, если для каждого числа, входящего в это множество, противоположное ему по знаку число также входит в это множество.

4. Объясните, почему является или не является симметричным множество:

а) $(-3; 3);$

б) $(-2; 2];$

в) $[-1; 2];$

г) $(-\infty; +\infty);$

д) $\{-1, 2, 3, -2, -3, 1\}.$

Множество $D$ называется симметричным относительно начала координат, если для любого элемента $x$, принадлежащего этому множеству, противоположный ему элемент $-x$ также принадлежит этому множеству. Это можно записать в виде условия: если $x \in D$, то и $-x \in D$.

а) Множество $(-3; 3)$ является симметричным.
Это интервал от $-3$ до $3$, не включая концы. Пусть $x$ — произвольное число из этого интервала, то есть $-3 < x < 3$. Умножим все части этого неравенства на $-1$, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $3 > -x > -3$, что равносильно $-3 < -x < 3$. Это означает, что для любого числа $x$ из интервала $(-3; 3)$ противоположное ему число $-x$ также лежит в этом интервале.
Ответ: является симметричным.

б) Множество $(-2; 2]$ не является симметричным.
Это полуинтервал. Рассмотрим элемент $x = 2$. Он принадлежит данному множеству, так как $2 \in (-2; 2]$. Однако противоположный ему элемент $-x = -2$ не принадлежит этому множеству, так как левая граница интервала не включается в множество (интервал открыт слева). Поскольку мы нашли элемент, для которого условие симметричности не выполняется, множество не является симметричным.
Ответ: не является симметричным.

в) Множество $[-1; 2]$ не является симметричным.
Это отрезок. Рассмотрим элемент $x = 2$. Он принадлежит данному множеству, так как $2 \in [-1; 2]$. Однако противоположный ему элемент $-x = -2$ не принадлежит этому множеству, так как $-2 < -1$. Поскольку нашёлся элемент, для которого условие симметричности не выполняется, множество не является симметричным.
Ответ: не является симметричным.

г) Множество $(-\infty; +\infty)$ является симметричным.
Это множество всех действительных чисел, обозначаемое как $\mathbb{R}$. Для любого действительного числа $x$ существует противоположное ему число $-x$, которое также является действительным. Таким образом, для любого $x \in (-\infty; +\infty)$ верно, что и $-x \in (-\infty; +\infty)$.
Ответ: является симметричным.

д) Множество $\{-1, 2, 3, -2, -3, 1\}$ является симметричным.
Это конечное множество. Упорядочим его элементы для наглядности: $\{-3, -2, -1, 1, 2, 3\}$. Проверим для каждого элемента, есть ли в множестве ему противоположный:
Для $x=1$ в множестве есть $-x=-1$.
Для $x=2$ в множестве есть $-x=-2$.
Для $x=3$ в множестве есть $-x=-3$.
Так как для каждого элемента $x$ в множестве есть и $-x$ (и наоборот), то множество является симметричным.
Ответ: является симметричным.

5. Может ли быть чётной или нечётной функция $y = f(x)$, $x \in [0; +\infty)$?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо вспомнить определения чётной и нечётной функций.

Чётная функция

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если выполняются два условия:

1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат. Это означает, что если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$.
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

В данной задаче область определения функции – это промежуток $x \in [0; +\infty)$. Проверим, является ли он симметричным. Возьмём любое число из этого промежутка, отличное от нуля, например, $x=3$. Точка $x=3$ принадлежит области определения. Однако точка $-x = -3$ не принадлежит промежутку $[0; +\infty)$.

Поскольку первое, ключевое условие симметричности области определения не выполняется, функция не может быть чётной. Мы даже не можем проверить второе условие $f(-x) = f(x)$ для любого $x > 0$, так как значение $f(-x)$ не определено.

Исключением мог бы быть случай, когда область определения состоит только из одной точки $x=0$. Множество $\{0\}$ симметрично, и любая функция, определенная только в этой точке, является чётной ($f(-0)=f(0)$). Но в задаче дана область определения $[0; +\infty)$, которая содержит бесконечно много других точек.

Ответ: Нет, функция с областью определения $[0; +\infty)$ не может быть чётной.

Нечётная функция

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если выполняются два условия:

1. Её область определения $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то же самое условие, что и для чётной функции).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Как мы уже установили, область определения $x \in [0; +\infty)$ не является симметричной относительно начала координат. Следовательно, первое условие для нечётной функции также не выполняется.

По той же причине, что и в предыдущем пункте, функция с такой областью определения не может быть классифицирована как нечётная.

В случае, если бы область определения была только точкой $x=0$, функция была бы нечётной при условии $f(0) = -f(0)$, что равносильно $2f(0)=0$, то есть $f(0)=0$. Но, как и ранее, это не соответствует заданной области определения.

Ответ: Нет, функция с областью определения $[0; +\infty)$ не может быть нечётной.

6. Сформулируйте алгоритм исследования функции на чётность.

Исследование функции $y = f(x)$ на чётность — это определение, является ли функция чётной, нечётной или ни той, ни другой (функцией общего вида). Для этого используется следующий алгоритм.

1. Найти область определения функции. Определить множество $D(f)$ всех допустимых значений аргумента $x$, для которых выражение $f(x)$ имеет смысл.

2. Проверить область определения на симметричность. Необходимо проверить, является ли область определения $D(f)$ симметричной относительно начала координат (точки $x=0$). Это означает, что для любого числа $x$ из области определения, противоположное ему число $-x$ также должно принадлежать этой области.

   Примеры симметричных областей: $(-\infty; +\infty)$, $(-5; 5)$, $[-10; 10]$.
   Примеры несимметричных областей: $[0; +\infty)$, $(-2; 3]$, $[-5; 4)$.

   Если область определения несимметрична, то функция является ни чётной, ни нечётной. На этом исследование завершается. Если область определения симметрична, следует перейти к следующему шагу.

3. Найти выражение для $f(-x)$. В формулу, задающую функцию $f(x)$, вместо каждого вхождения $x$ подставить $-x$. Затем необходимо упростить полученное выражение.

4. Сравнить $f(-x)$ с $f(x)$ и сделать вывод. Сравнить полученное на шаге 3 выражение для $f(-x)$ с исходным выражением $f(x)$ и с выражением $-f(x)$.

   • Если для любого $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, то функция является чётной. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
   • Если для любого $x$ из $D(f)$ выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, то функция является нечётной. График такой функции симметричен относительно начала координат (точки O(0;0)).
   • Если не выполняется ни одно из вышеперечисленных равенств, то есть $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, то функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

Ответ:
Алгоритм исследования функции $y=f(x)$ на чётность состоит из следующих шагов:
1. Найти область определения функции $D(f)$.
2. Проверить, является ли область определения $D(f)$ симметричной относительно нуля. Если она несимметрична, то функция не является ни чётной, ни нечётной.
3. Если область определения симметрична, то необходимо найти значение функции при $-x$, то есть $f(-x)$.
4. Сравнить полученное значение с исходным:
- если $f(-x) = f(x)$, то функция чётная;
- если $f(-x) = -f(x)$, то функция нечётная;
- если ни одно из равенств не выполняется, то функция не является ни чётной, ни нечётной.

7. Каким свойством обладает график чётной функции? График нечётной функции?

График чётной функции

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. При этом область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже принадлежит ей).

С геометрической точки зрения, это равенство означает, что если точка с координатами $(x_0; y_0)$ принадлежит графику функции, то и точка с координатами $(-x_0; y_0)$ также принадлежит этому графику. Две точки $(x_0; y_0)$ и $(-x_0; y_0)$ являются симметричными друг другу относительно оси ординат ($Oy$). Таким образом, график чётной функции обладает свойством осевой симметрии относительно оси $Oy$.

Ответ: График чётной функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$).

График нечётной функции

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Область определения нечётной функции также должна быть симметрична относительно начала координат.

С геометрической точки зрения, это равенство означает, что если точка с координатами $(x_0; y_0)$ принадлежит графику функции, то и точка с координатами $(-x_0; -y_0)$ также принадлежит этому графику. Две точки $(x_0; y_0)$ и $(-x_0; -y_0)$ являются симметричными друг другу относительно начала координат (точки $(0; 0)$). Таким образом, график нечётной функции обладает свойством центральной симметрии относительно начала координат.

Ответ: График нечётной функции симметричен относительно начала координат.

8 Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии $\sqrt{3}, -1, \frac{1}{\sqrt{3}}, \dots$

Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — число членов.

В данной прогрессии $\sqrt{3}, -1, \frac{1}{\sqrt{3}}, \dots$ имеем:

1. Найдём первый член $b_1$

Первый член прогрессии $b_1 = \sqrt{3}$.

2. Найдём знаменатель прогрессии $q$

Знаменатель $q$ равен отношению последующего члена к предыдущему:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1}{\sqrt{3}}$

3. Вычислим сумму первых пяти членов $S_5$

Подставим значения $b_1 = \sqrt{3}$, $q = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ и $n=5$ в формулу суммы.

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q - 1} = \frac{\sqrt{3}((-\frac{1}{\sqrt{3}})^5 - 1)}{-\frac{1}{\sqrt{3}} - 1}$

Сначала вычислим $q^5$:

$q^5 = (-\frac{1}{\sqrt{3}})^5 = -(\frac{1}{\sqrt{3}})^5 = -\frac{1}{(\sqrt{3})^5} = -\frac{1}{(\sqrt{3})^4 \cdot \sqrt{3}} = -\frac{1}{9\sqrt{3}}$

Теперь подставим это значение в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{\sqrt{3}(-\frac{1}{9\sqrt{3}} - 1)}{-\frac{1}{\sqrt{3}} - 1}$

Упростим выражение, вынеся знак минус в числителе и знаменателе за скобки:

$S_5 = \frac{\sqrt{3} \cdot -(\frac{1}{9\sqrt{3}} + 1)}{-(\frac{1}{\sqrt{3}} + 1)} = \frac{\sqrt{3}(\frac{1 + 9\sqrt{3}}{9\sqrt{3}})}{(\frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}})}$

Разделим дроби:

$S_5 = \sqrt{3} \cdot \frac{1 + 9\sqrt{3}}{9\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \cdot (1 + 9\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{9\sqrt{3} \cdot (1 + \sqrt{3})}$

Сократим $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$S_5 = \frac{\sqrt{3}(1 + 9\sqrt{3})}{9(1 + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} + 9 \cdot 3}{9(1 + \sqrt{3})} = \frac{27 + \sqrt{3}}{9(1 + \sqrt{3})}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(1 - \sqrt{3})$:

$S_5 = \frac{(27 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{9(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{27 - 27\sqrt{3} + \sqrt{3} - (\sqrt{3})^2}{9(1^2 - (\sqrt{3})^2)} = \frac{27 - 26\sqrt{3} - 3}{9(1 - 3)}$

$S_5 = \frac{24 - 26\sqrt{3}}{9(-2)} = \frac{24 - 26\sqrt{3}}{-18}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на -2:

$S_5 = \frac{24/(-2) - 26\sqrt{3}/(-2)}{-18/(-2)} = \frac{-12 + 13\sqrt{3}}{9} = \frac{13\sqrt{3} - 12}{9}$

Ответ: $\frac{13\sqrt{3} - 12}{9}$

9 Четвёртый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третьего членов прогрессии равна 6. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а её знаменатель как $q$. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию, четвёртый член геометрической прогрессии больше второго на 24. Запишем это в виде уравнения:
$b_4 = b_2 + 24$
Используя формулу n-го члена, выразим $b_4$ и $b_2$ через $b_1$ и $q$:
$b_1 q^3 = b_1 q + 24$

Также, по условию, сумма второго и третьего членов прогрессии равна 6:
$b_2 + b_3 = 6$
Выразим $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:
$b_1 q + b_1 q^2 = 6$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Преобразуем оба уравнения, вынеся общие множители за скобки:
$\begin{cases}b_1 q(q^2 - 1) = 24 \\b_1 q(1 + q) = 6\end{cases}$

Разделим первое уравнение системы на второе. Заметим, что левая часть второго уравнения не может быть равна нулю, так как правая часть равна 6. Следовательно, $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq -1$.
$\frac{b_1 q(q^2 - 1)}{b_1 q(1 + q)} = \frac{24}{6}$
$\frac{q^2 - 1}{q + 1} = 4$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и сократим дробь:
$\frac{(q - 1)(q + 1)}{q + 1} = 4$
$q - 1 = 4$
$q = 5$

Теперь, зная знаменатель прогрессии, найдём её первый член. Для этого подставим значение $q=5$ во второе уравнение системы $b_1 q(1 + q) = 6$:
$b_1 \cdot 5 \cdot (1 + 5) = 6$
$b_1 \cdot 5 \cdot 6 = 6$
$30 b_1 = 6$
$b_1 = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

Ответ: первый член прогрессии равен $\frac{1}{5}$, а знаменатель прогрессии равен 5.

10 Найдите трёхзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если же из цифры десятков вычесть 2, а остальные цифры оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию.

Условие арифметической прогрессии:

$2B = A + C$

Условие вычитания 792:

$(100A + 10B + C) - 792 = 100C + 10B + A$

Условие геометрической прогрессии:

$(B-2)^2 = AC$

Пусть искомое трёхзначное число состоит из цифр a, b и c, где a — цифра сотен, b — цифра десятков, а c — цифра единиц. Тогда значение этого числа равно $100a + 10b + c$. Согласно условиям задачи, составим систему утверждений и переведем их в математические уравнения.

1. Цифры числа образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что последовательность цифр a, b, c является арифметической прогрессией. Основное свойство такой прогрессии заключается в том, что каждый её член (кроме первого) является средним арифметическим соседних с ним членов. Для наших цифр это означает: $b = \frac{a + c}{2}$, что эквивалентно $2b = a + c$. При этом a, b, c — это целые числа от 0 до 9, и так как число трёхзначное, $a \neq 0$.

2. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, это $100c + 10b + a$. Составим уравнение на основе этого условия: $(100a + 10b + c) - 792 = 100c + 10b + a$ Вычтем $10b$ из обеих частей уравнения: $100a + c - 792 = 100c + a$ Перенесём члены с переменными в левую часть, а число — в правую: $100a - a - 100c + c = 792$ $99a - 99c = 792$ Разделим обе части уравнения на 99: $a - c = 8$

3. Если из цифры десятков вычесть 2, а остальные цифры оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Новая последовательность цифр будет a, $(b-2)$, c. Основное свойство геометрической прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов. $(b - 2)^2 = a \cdot c$ Так как $(b-2)$ должно быть цифрой, то $0 \le b-2 \le 9$, из чего следует, что $2 \le b \le 9$.

Теперь у нас есть система из трёх уравнений для нахождения трёх неизвестных a, b и c: $ \begin{cases} 2b = a + c \\ a - c = 8 \\ (b-2)^2 = ac \end{cases} $

Начнём решение с уравнения $a - c = 8$, или $a = c + 8$. Поскольку a и c — цифры, причём $1 \le a \le 9$ и $0 \le c \le 9$, рассмотрим возможные значения для c:

• Если $c = 0$, то $a = 0 + 8 = 8$.
• Если $c = 1$, то $a = 1 + 8 = 9$.
• Если $c \ge 2$, то $a \ge 10$, что невозможно, так как a — это цифра.

Рассмотрим каждый из двух возможных случаев, используя первое уравнение $2b = a + c$ для нахождения b.

Случай 1: $a=8$, $c=0$. Подставим эти значения в первое уравнение: $2b = 8 + 0 \implies 2b = 8 \implies b = 4$. Получили цифры 8, 4, 0. Проверим их по третьему уравнению $(b-2)^2 = ac$: $(4-2)^2 = 8 \cdot 0$ $2^2 = 0$ $4 = 0$ Равенство неверное. Значит, этот набор цифр не является решением.

Случай 2: $a=9$, $c=1$. Подставим эти значения в первое уравнение: $2b = 9 + 1 \implies 2b = 10 \implies b = 5$. Получили цифры 9, 5, 1. Проверим их по третьему уравнению $(b-2)^2 = ac$: $(5-2)^2 = 9 \cdot 1$ $3^2 = 9$ $9 = 9$ Равенство верное. Значит, искомое число — 951.

Проведем финальную проверку для числа 951:

1. Цифры 9, 5, 1. Разность $5-9=-4$ и $1-5=-4$. Это арифметическая прогрессия. (Верно)
2. $951 - 792 = 159$. Число 159 — это число 951, записанное в обратном порядке. (Верно)
3. Из цифры десятков 5 вычитаем 2, получаем 3. Новые "цифры" 9, 3, 1. Проверяем, образуют ли они геометрическую прогрессию: $3^2 = 9$ и $9 \cdot 1 = 9$. Образуют. (Верно)

Все условия задачи выполнены.

Ответ: 951.