Страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

17.58 В результате трёхкратного повышения цены на некоторый товар на одно и то же число процентов цена товара стала превышать первоначальную цену на 72,8%. На сколько процентов повышалась цена на товар каждый раз?

Пусть $P_0$ — первоначальная цена товара, а $x$ — искомое число процентов, на которое повышалась цена каждый раз.

При повышении цены на $x$ процентов, новая цена становится равной $P_0 \cdot (1 + \frac{x}{100})$. Коэффициент, на который умножается цена при каждом повышении, равен $k = 1 + \frac{x}{100}$.

Поскольку цену повышали трижды на одно и то же число процентов, итоговая цена $P_3$ будет равна первоначальной цене, умноженной на этот коэффициент три раза:

$P_3 = P_0 \cdot k \cdot k \cdot k = P_0 \cdot k^3 = P_0 \cdot (1 + \frac{x}{100})^3$

По условию задачи, итоговая цена $P_3$ превысила первоначальную $P_0$ на 72,8%. Это означает, что $P_3$ составляет $100\% + 72,8\% = 172,8\%$ от $P_0$. Выразим это в виде десятичной дроби:

$P_3 = P_0 + \frac{72,8}{100} \cdot P_0 = P_0 \cdot (1 + 0,728) = 1,728 \cdot P_0$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для итоговой цены $P_3$:

$P_0 \cdot (1 + \frac{x}{100})^3 = 1,728 \cdot P_0$

Разделим обе части уравнения на $P_0$ (так как первоначальная цена не может быть нулевой):

$(1 + \frac{x}{100})^3 = 1,728$

Для нахождения величины $(1 + \frac{x}{100})$ необходимо извлечь кубический корень из обеих частей уравнения:

$1 + \frac{x}{100} = \sqrt[3]{1,728}$

Зная, что $12^3 = 1728$, можно вычислить, что $\sqrt[3]{1,728} = \sqrt[3]{\frac{1728}{1000}} = \frac{12}{10} = 1,2$.

Таким образом, получаем уравнение:

$1 + \frac{x}{100} = 1,2$

Теперь найдем $x$:

$\frac{x}{100} = 1,2 - 1$

$\frac{x}{100} = 0,2$

$x = 0,2 \cdot 100 = 20$

Следовательно, каждый раз цена на товар повышалась на 20%.

Ответ: на 20%.

1 Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа $\sqrt{5}$:

а) по недостатку;

б) по избытку.

а) по недостатку;
Десятичные приближения по недостатку (или округление вниз) для положительного числа получаются путем отбрасывания всех цифр после определенного десятичного разряда. Для нахождения этих приближений нам нужно знать десятичное представление числа $\sqrt{5}$.
Найдем несколько первых цифр числа $\sqrt{5}$. Мы знаем, что $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, из чего следует, что $2 < \sqrt{5} < 3$. Таким образом, целая часть числа $\sqrt{5}$ равна 2.
Вычислим значение $\sqrt{5}$ с большей точностью: $\sqrt{5} \approx 2.2360679...$
Теперь найдем первые четыре члена последовательности:

• Первый член (приближение с точностью до целых): отбрасываем всю дробную часть. Получаем 2.
• Второй член (приближение с точностью до десятых): отбрасываем все цифры после первого знака после запятой. Получаем 2.2.
• Третий член (приближение с точностью до сотых): отбрасываем все цифры после второго знака после запятой. Получаем 2.23.
• Четвертый член (приближение с точностью до тысячных): отбрасываем все цифры после третьего знака после запятой. Получаем 2.236.

Ответ: 2; 2.2; 2.23; 2.236.

б) по избытку.
Десятичные приближения по избытку (или округление вверх) для положительного числа получаются путем нахождения приближения по недостатку с той же точностью и прибавления к нему единицы самого младшего разряда.
Используем найденные в пункте а) приближения по недостатку:

• Первый член (приближение с точностью до целых): берем приближение по недостатку (2) и прибавляем 1. Получаем $2 + 1 = 3$.
• Второй член (приближение с точностью до десятых): берем приближение по недостатку (2.2) и прибавляем 0.1. Получаем $2.2 + 0.1 = 2.3$.
• Третий член (приближение с точностью до сотых): берем приближение по недостатку (2.23) и прибавляем 0.01. Получаем $2.23 + 0.01 = 2.24$.
• Четвертый член (приближение с точностью до тысячных): берем приближение по недостатку (2.236) и прибавляем 0.001. Получаем $2.236 + 0.001 = 2.237$.

Мы можем проверить наши результаты: $2.2 < \sqrt{5} < 2.3$ так как $(2.2)^2 = 4.84 < 5$ и $(2.3)^2 = 5.29 > 5$.
$2.23 < \sqrt{5} < 2.24$ так как $(2.23)^2 = 4.9729 < 5$ и $(2.24)^2 = 5.0176 > 5$.
$2.236 < \sqrt{5} < 2.237$ так как $(2.236)^2 = 4.999696 < 5$ и $(2.237)^2 = 5.004169 > 5$.
Все приближения найдены верно.

Ответ: 3; 2.3; 2.24; 2.237.

2 Постройте график последовательности $y_n = \frac{20}{n+2}$

Для построения графика последовательности, заданной формулой $y_n = \frac{20}{n+2}$, необходимо вычислить несколько первых членов этой последовательности. Графиком последовательности является множество точек на координатной плоскости с координатами $(n, y_n)$, где $n$ — номер члена последовательности (натуральное число, $n=1, 2, 3, \ldots$).

Вычислим значения $y_n$ для нескольких первых натуральных значений $n$, чтобы получить координаты точек для графика:
При $n=1$: $y_1 = \frac{20}{1+2} = \frac{20}{3} \approx 6.67$. Координаты точки: $(1; \frac{20}{3})$.
При $n=2$: $y_2 = \frac{20}{2+2} = \frac{20}{4} = 5$. Координаты точки: $(2; 5)$.
При $n=3$: $y_3 = \frac{20}{3+2} = \frac{20}{5} = 4$. Координаты точки: $(3; 4)$.
При $n=4$: $y_4 = \frac{20}{4+2} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} \approx 3.33$. Координаты точки: $(4; \frac{10}{3})$.
При $n=8$: $y_8 = \frac{20}{8+2} = \frac{20}{10} = 2$. Координаты точки: $(8; 2)$.
При $n=18$: $y_{18} = \frac{20}{18+2} = \frac{20}{20} = 1$. Координаты точки: $(18; 1)$.

Для построения графика следует нанести эти точки на координатную плоскость. По оси абсцисс (горизонтальной оси) откладываются натуральные числа $n$, а по оси ординат (вертикальной оси) — соответствующие значения $y_n$.

Важно отметить, что точки графика не соединяются линией, так как последовательность определена только для дискретных натуральных значений $n$. Все точки графика лежат на кривой функции $y = \frac{20}{x+2}$ (которая является ветвью гиперболы), но сам график состоит только из этих изолированных точек. С увеличением номера $n$ знаменатель дроби увеличивается, а значение $y_n$ уменьшается, стремясь к нулю. Это означает, что точки графика будут все ниже и ближе подходить к оси абсцисс, но никогда ее не пересекут, так как $y_n > 0$ для любого $n$.

Ответ: Графиком последовательности $y_n = \frac{20}{n+2}$ является множество изолированных точек, расположенных в первой координатной четверти. Координаты этих точек $(n, y_n)$, где $n$ — натуральное число. Первые несколько точек: $(1; \frac{20}{3})$, $(2; 5)$, $(3; 4)$, $(4; \frac{10}{3})$, $(5; \frac{20}{7})$. С ростом $n$ точки графика приближаются к оси абсцисс.

3 Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.

По условию, последовательность состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1. Возрастающая последовательность означает, что мы должны перечислять эти числа в порядке их увеличения.

Общий вид такого натурального числа $a$ можно записать формулой $a = 5k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$).

Найдем несколько первых членов этой последовательности ($a_n$), подставляя последовательные значения $k$, начиная с $k=0$:

• При $k=0$ имеем первый член: $a_1 = 5 \cdot 0 + 1 = 1$.
• При $k=1$ имеем второй член: $a_2 = 5 \cdot 1 + 1 = 6$.
• При $k=2$ имеем третий член: $a_3 = 5 \cdot 2 + 1 = 11$.
• При $k=3$ имеем четвертый член: $a_4 = 5 \cdot 3 + 1 = 16$.

Таким образом, последовательность имеет вид: 1, 6, 11, 16, ...

Выясните, является ли она арифметической прогрессией.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$, которое называется разностью прогрессии. Чтобы проверить, является ли данная последовательность арифметической, нужно убедиться, что разность между любым ее членом $a_{n+1}$ и предыдущим членом $a_n$ является постоянной величиной.

Формула $n$-го члена нашей последовательности, где $n$ — номер члена ($n=1, 2, 3, ...$), может быть выражена через номер $n$. Поскольку $n$-й член соответствует значению $k = n-1$, формула имеет вид: $a_n = 5(n-1) + 1$. Тогда следующий, $(n+1)$-й член, соответствует $k=n$: $a_{n+1} = 5n + 1$.

Найдем их разность: $d = a_{n+1} - a_n = (5n + 1) - (5(n-1) + 1) = 5n + 1 - (5n - 5 + 1) = 5n + 1 - 5n + 4 = 5$.

Разность между любыми двумя соседними членами последовательности постоянна и равна 5. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1$ — это наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 дает в остатке 1. Как мы нашли ранее, это число 1.

Разность прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую каждый следующий член больше предыдущего. Как было вычислено выше, эта разность равна 5.

Ответ: первый член прогрессии $a_1 = 1$, разность прогрессии $d = 5$.

4 Составьте формулу $n$-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_3=64, a_{10}=22$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$ имеет вид $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

Используя данные из условия, что $a_3=64$ и $a_{10}=22$, составим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $a_1$ и $d$:

$a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d = 64$
$a_{10} = a_1 + (10-1)d = a_1 + 9d = 22$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность прогрессии $d$:

$(a_1 + 9d) - (a_1 + 2d) = 22 - 64$

$a_1 + 9d - a_1 - 2d = -42$

$7d = -42$

$d = \frac{-42}{7} = -6$

Теперь, зная разность $d$, мы можем найти первый член прогрессии $a_1$, подставив значение $d=-6$ в первое уравнение системы:

$a_1 + 2(-6) = 64$

$a_1 - 12 = 64$

$a_1 = 64 + 12 = 76$

Зная первый член $a_1 = 76$ и разность $d = -6$, мы можем составить итоговую формулу $n$-го члена для данной прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n = 76 + (n-1)(-6)$

Упростим выражение:

$a_n = 76 - 6n + 6$

$a_n = 82 - 6n$

Ответ: $a_n = 82 - 6n$.

5 Для прогрессии, приведённой в задании 4, найдите сумму всех её положительных членов.

Для решения этой задачи необходимо знать параметры прогрессии из задания 4. Так как эта информация отсутствует, предположим, что в задании 4 речь шла об арифметической прогрессии $ (a_n) $, у которой первый член $ a_1 = 18 $, а разность $ d = -0.4 $. Это убывающая арифметическая прогрессия, поэтому ее члены, начиная с некоторого номера, станут отрицательными.

Наша задача — найти сумму всех положительных членов этой прогрессии. Для этого сначала определим, сколько в ней положительных членов.

Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $ a_n = a_1 + (n-1)d $.Мы ищем все номера $ n $, для которых $ a_n > 0 $.

Подставим известные значения $ a_1 = 18 $ и $ d = -0.4 $ в неравенство:

$ 18 + (n-1)(-0.4) > 0 $

Решим это неравенство:

$ 18 - 0.4n + 0.4 > 0 $

$ 18.4 - 0.4n > 0 $

$ 18.4 > 0.4n $

Разделим обе части на 0.4:

$ n < \frac{18.4}{0.4} $

$ n < 46 $

Поскольку номер члена прогрессии $ n $ должен быть натуральным числом, положительными являются члены с 1-го по 45-й включительно. Таким образом, в прогрессии ровно 45 положительных членов.

Теперь вычислим сумму этих 45 членов. Для этого воспользуемся формулой суммы первых $ k $ членов арифметической прогрессии: $ S_k = \frac{a_1 + a_k}{2} \cdot k $.

Нам известны: $ k = 45 $ и $ a_1 = 18 $. Найдем последний из суммируемых членов, $ a_{45} $:

$ a_{45} = a_1 + (45-1)d = 18 + 44 \cdot (-0.4) = 18 - 17.6 = 0.4 $

Теперь подставляем все значения в формулу суммы:

$ S_{45} = \frac{18 + 0.4}{2} \cdot 45 $

$ S_{45} = \frac{18.4}{2} \cdot 45 $

$ S_{45} = 9.2 \cdot 45 $

$ S_{45} = 414 $

Следовательно, сумма всех положительных членов данной прогрессии равна 414.

Ответ: 414

6. Докажите, что если последовательность $b_1, b_2, ..., b_n, ...$ образует геометрическую прогрессию, то и последовательность $b_1^4, b_2^4, ..., b_n^4, ...$ также образует геометрическую прогрессию.

Пусть последовательность $b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots$ является геометрической прогрессией. По определению геометрической прогрессии, это означает, что для любого натурального номера $n$ существует такое постоянное число $q$ (знаменатель прогрессии), что выполняется равенство:

$b_{n+1} = b_n \cdot q$

Отсюда следует, что отношение любого члена прогрессии (начиная со второго) к предыдущему члену постоянно и равно $q$ (при условии, что $b_n \neq 0$):

$\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$

Теперь рассмотрим новую последовательность, члены которой равны четвертым степеням членов исходной последовательности: $b_1^4, b_2^4, \ldots, b_n^4, \ldots$. Обозначим члены этой новой последовательности как $c_n = b_n^4$.

Чтобы доказать, что последовательность $c_n$ также является геометрической прогрессией, необходимо показать, что отношение любого ее члена $c_{n+1}$ к предыдущему члену $c_n$ является постоянной величиной.

Найдем это отношение:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_{n+1}^4}{b_n^4}$

Используя свойство степеней $\frac{a^k}{b^k} = (\frac{a}{b})^k$, преобразуем выражение:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \left(\frac{b_{n+1}}{b_n}\right)^4$

Поскольку мы знаем, что $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$, подставим это значение в полученное равенство:

$\frac{c_{n+1}}{c_n} = q^4$

Так как $q$ — это постоянное число (знаменатель исходной прогрессии), то и его четвертая степень $q^4$ также является постоянной величиной.

Таким образом, мы доказали, что отношение любого члена последовательности $c_n$ к предыдущему является постоянным и равно $q^4$. Это по определению означает, что последовательность $b_1^4, b_2^4, \ldots, b_n^4, \ldots$ является геометрической прогрессией с первым членом $c_1 = b_1^4$ и знаменателем $q^4$.

Ответ: Утверждение доказано. Если последовательность $b_n$ является геометрической прогрессией со знаменателем $q$, то последовательность $b_n^4$ также является геометрической прогрессией со знаменателем $q^4$.

7 Дана геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите $b_1$, если $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$,

$b_6 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии $b_1$ воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_n$ — n-й член прогрессии, $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер члена.

В условии задачи даны шестой член прогрессии $b_6 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ и знаменатель $q = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Подставим эти значения в формулу для $n=6$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$

$b_6 = b_1 \cdot q^5$

Теперь подставим известные числовые значения в уравнение:

$-\frac{1}{\sqrt{3}} = b_1 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^5$

Прежде чем решать уравнение относительно $b_1$, упростим выражение для знаменателя $q$. Заметим, что $3 = (\sqrt{3})^2$, поэтому $q$ можно записать в виде:

$q = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Теперь возведем $q$ в пятую степень:

$q^5 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^5 = \frac{1^5}{(\sqrt{3})^5} = \frac{1}{(\sqrt{3})^4 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{((\sqrt{3})^2)^2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3^2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{9\sqrt{3}}$

Подставим упрощенное значение $q^5$ обратно в уравнение для $b_6$:

$-\frac{1}{\sqrt{3}} = b_1 \cdot \frac{1}{9\sqrt{3}}$

Чтобы найти $b_1$, умножим обе части уравнения на $9\sqrt{3}$:

$b_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 9\sqrt{3}$

Сократим $\sqrt{3}$ в числителе и знаменателе:

$b_1 = -9$

Ответ: -9

8 Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии

$\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{4}$, $\frac{\sqrt{2}}{8}$, ....

Для нахождения суммы первых пяти членов геометрической прогрессии необходимо определить её первый член ($b_1$) и знаменатель ($q$).

Из условия задачи, первый член прогрессии: $b_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Знаменатель прогрессии $q$ найдем как отношение второго члена к первому: $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

Нам нужно найти сумму первых пяти членов, поэтому $n=5$. Подставим известные значения в формулу: $S_5 = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5\right)}{1 - \frac{1}{2}}$.

Произведем вычисления: $S_5 = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \left(1 - \frac{1}{32}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \left(\frac{31}{32}\right)}{\frac{1}{2}}$.

Сократив $\frac{1}{2}$ в числителе и знаменателе, получим: $S_5 = \sqrt{2} \cdot \frac{31}{32} = \frac{31\sqrt{2}}{32}$.

Ответ: $\frac{31\sqrt{2}}{32}$.