Номер 17.58, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.58 В результате трёхкратного повышения цены на некоторый товар на одно и то же число процентов цена товара стала превышать первоначальную цену на 72,8%. На сколько процентов повышалась цена на товар каждый раз?

Пусть $P_0$ — первоначальная цена товара, а $x$ — искомое число процентов, на которое повышалась цена каждый раз.

При повышении цены на $x$ процентов, новая цена становится равной $P_0 \cdot (1 + \frac{x}{100})$. Коэффициент, на который умножается цена при каждом повышении, равен $k = 1 + \frac{x}{100}$.

Поскольку цену повышали трижды на одно и то же число процентов, итоговая цена $P_3$ будет равна первоначальной цене, умноженной на этот коэффициент три раза:

$P_3 = P_0 \cdot k \cdot k \cdot k = P_0 \cdot k^3 = P_0 \cdot (1 + \frac{x}{100})^3$

По условию задачи, итоговая цена $P_3$ превысила первоначальную $P_0$ на 72,8%. Это означает, что $P_3$ составляет $100\% + 72,8\% = 172,8\%$ от $P_0$. Выразим это в виде десятичной дроби:

$P_3 = P_0 + \frac{72,8}{100} \cdot P_0 = P_0 \cdot (1 + 0,728) = 1,728 \cdot P_0$

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для итоговой цены $P_3$:

$P_0 \cdot (1 + \frac{x}{100})^3 = 1,728 \cdot P_0$

Разделим обе части уравнения на $P_0$ (так как первоначальная цена не может быть нулевой):

$(1 + \frac{x}{100})^3 = 1,728$

Для нахождения величины $(1 + \frac{x}{100})$ необходимо извлечь кубический корень из обеих частей уравнения:

$1 + \frac{x}{100} = \sqrt[3]{1,728}$

Зная, что $12^3 = 1728$, можно вычислить, что $\sqrt[3]{1,728} = \sqrt[3]{\frac{1728}{1000}} = \frac{12}{10} = 1,2$.

Таким образом, получаем уравнение:

$1 + \frac{x}{100} = 1,2$

Теперь найдем $x$:

$\frac{x}{100} = 1,2 - 1$

$\frac{x}{100} = 0,2$

$x = 0,2 \cdot 100 = 20$

Следовательно, каждый раз цена на товар повышалась на 20%.

Ответ: на 20%.