Номер 3, страница 117, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3 Возрастающая последовательность состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1. Выясните, является ли она арифметической прогрессией. Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.

По условию, последовательность состоит из всех натуральных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1. Возрастающая последовательность означает, что мы должны перечислять эти числа в порядке их увеличения.

Общий вид такого натурального числа $a$ можно записать формулой $a = 5k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, ...$).

Найдем несколько первых членов этой последовательности ($a_n$), подставляя последовательные значения $k$, начиная с $k=0$:

• При $k=0$ имеем первый член: $a_1 = 5 \cdot 0 + 1 = 1$.
• При $k=1$ имеем второй член: $a_2 = 5 \cdot 1 + 1 = 6$.
• При $k=2$ имеем третий член: $a_3 = 5 \cdot 2 + 1 = 11$.
• При $k=3$ имеем четвертый член: $a_4 = 5 \cdot 3 + 1 = 16$.

Таким образом, последовательность имеет вид: 1, 6, 11, 16, ...

Выясните, является ли она арифметической прогрессией.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$, которое называется разностью прогрессии. Чтобы проверить, является ли данная последовательность арифметической, нужно убедиться, что разность между любым ее членом $a_{n+1}$ и предыдущим членом $a_n$ является постоянной величиной.

Формула $n$-го члена нашей последовательности, где $n$ — номер члена ($n=1, 2, 3, ...$), может быть выражена через номер $n$. Поскольку $n$-й член соответствует значению $k = n-1$, формула имеет вид: $a_n = 5(n-1) + 1$. Тогда следующий, $(n+1)$-й член, соответствует $k=n$: $a_{n+1} = 5n + 1$.

Найдем их разность: $d = a_{n+1} - a_n = (5n + 1) - (5(n-1) + 1) = 5n + 1 - (5n - 5 + 1) = 5n + 1 - 5n + 4 = 5$.

Разность между любыми двумя соседними членами последовательности постоянна и равна 5. Следовательно, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: да, данная последовательность является арифметической прогрессией.

Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1$ — это наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 дает в остатке 1. Как мы нашли ранее, это число 1.

Разность прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую каждый следующий член больше предыдущего. Как было вычислено выше, эта разность равна 5.

Ответ: первый член прогрессии $a_1 = 1$, разность прогрессии $d = 5$.