Номер 17.56, страница 116, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.56 Три числа, сумма которых равна 31, можно рассматривать как три последовательных члена некоторой геометрической прогрессии или как первый, второй, седьмой члены некоторой арифметической прогрессии. Найдите эти числа.

Пусть искомые три числа это $x$, $y$ и $z$.

Согласно первому условию, их сумма равна 31:$x + y + z = 31$

Согласно второму условию, эти три числа являются тремя последовательными членами некоторой геометрической прогрессии. Обозначим первый из этих членов за $b$, а знаменатель прогрессии за $q$. Тогда числа можно записать как:$x = b$$y = bq$$z = bq^2$

Согласно третьему условию, эти же числа являются первым, вторым и седьмым членами некоторой арифметической прогрессии. Обозначим первый член этой прогрессии за $a_1$, а ее разность за $d$. Тогда:$x = a_1$$y = a_2 = a_1 + d$$z = a_7 = a_1 + 6d$

Теперь составим систему уравнений, связав представления чисел через обе прогрессии.Поскольку $x = b$ и $x = a_1$, то $b = a_1$. Подставим это в выражения для $y$ и $z$ из арифметической прогрессии:$y = b + d$$z = b + 6d$

Приравняем выражения для $y$ и $z$ из обеих систем представлений (геометрической и арифметической):1) $bq = b + d$2) $bq^2 = b + 6d$

Из первого уравнения выразим $d$:$d = bq - b = b(q-1)$

Подставим это выражение для $d$ во второе уравнение:$bq^2 = b + 6b(q-1)$

Сумма чисел равна 31, поэтому они не могут быть все нулями, а значит $b \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $b$:$q^2 = 1 + 6(q-1)$$q^2 = 1 + 6q - 6$$q^2 - 6q + 5 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно знаменателя геометрической прогрессии $q$. Решим его, например, с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Отсюда находим корни:$q_1 = 1$, $q_2 = 5$

Рассмотрим оба возможных случая для $q$.

Случай 1: $q = 5$

Подставим значение $q=5$ в уравнение для суммы членов геометрической прогрессии:$x + y + z = b + bq + bq^2 = 31$$b(1 + q + q^2) = 31$$b(1 + 5 + 5^2) = 31$$b(1 + 5 + 25) = 31$$b(31) = 31$$b = 1$

Теперь найдем сами числа $x, y, z$:$x = b = 1$$y = bq = 1 \cdot 5 = 5$$z = bq^2 = 1 \cdot 5^2 = 25$

Таким образом, мы получили числа 1, 5, 25. Проверим, удовлетворяют ли они всем условиям задачи.

1. Сумма чисел: $1 + 5 + 25 = 31$. Условие выполнено.

2. Числа являются последовательными членами геометрической прогрессии: 1, 5, 25. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=5$. Условие выполнено.

3. Числа являются первым, вторым и седьмым членами арифметической прогрессии. Пусть $a_1 = 1$, $a_2 = 5$. Тогда разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = 5 - 1 = 4$. Седьмой член $a_7$ должен быть равен $a_1 + 6d = 1 + 6 \cdot 4 = 1 + 24 = 25$. Это совпадает со значением третьего числа. Условие выполнено.

Следовательно, набор чисел (1, 5, 25) является решением.

Случай 2: $q = 1$

Подставим значение $q=1$ в уравнение для суммы:$b(1 + q + q^2) = 31$$b(1 + 1 + 1^2) = 31$$b(3) = 31$$b = \frac{31}{3}$

Теперь найдем сами числа $x, y, z$:$x = b = \frac{31}{3}$$y = bq = \frac{31}{3} \cdot 1 = \frac{31}{3}$$z = bq^2 = \frac{31}{3} \cdot 1^2 = \frac{31}{3}$

Таким образом, мы получили три одинаковых числа: $\frac{31}{3}, \frac{31}{3}, \frac{31}{3}$. Проверим условия.

1. Сумма чисел: $\frac{31}{3} + \frac{31}{3} + \frac{31}{3} = 3 \cdot \frac{31}{3} = 31$. Условие выполнено.

2. Числа являются последовательными членами геометрической прогрессии: $\frac{31}{3}, \frac{31}{3}, \frac{31}{3}$. Это геометрическая прогрессия со знаменателем $q=1$. Условие выполнено.

3. Числа являются первым, вторым и седьмым членами арифметической прогрессии. Пусть $a_1 = \frac{31}{3}$, $a_2 = \frac{31}{3}$. Тогда разность прогрессии $d = a_2 - a_1 = \frac{31}{3} - \frac{31}{3} = 0$. Седьмой член $a_7$ должен быть равен $a_1 + 6d = \frac{31}{3} + 6 \cdot 0 = \frac{31}{3}$. Это совпадает со значением третьего числа. Условие выполнено.

Следовательно, набор чисел ($\frac{31}{3}, \frac{31}{3}, \frac{31}{3}$) также является решением.

Ответ: 1, 5, 25 и $\frac{31}{3}, \frac{31}{3}, \frac{31}{3}$.