Номер 17.49, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.49 a) $1 + x + x^2 + \dots + x^{100}$;

б) $x + x^3 + x^5 + \dots + x^{35}$;

В) $x^2 - x^4 + x^6 - \dots - x^{20}$;

Г) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \dots + \frac{1}{x^{40}}$, $x \neq 0$.

а)

Данное выражение $1 + x + x^2 + \ldots + x^{100}$ является суммой членов конечной геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{x}{1} = x$.

Чтобы найти число членов $n$, заметим, что показатели степени $x$ принимают значения от $0$ ($x^0=1$) до $100$. Общее число членов равно $100 - 0 + 1 = 101$. Итак, $n=101$.

Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$ при $q \neq 1$.

Рассмотрим два случая:

1. Если знаменатель $q = 1$, то есть $x=1$. В этом случае формула неприменима, а сумма представляет собой сложение 101 единицы: $S_{101} = 1 + 1 + \ldots + 1 = 101$.

2. Если знаменатель $q \neq 1$, то есть $x \neq 1$. Применяем формулу суммы:

$S_{101} = 1 \cdot \frac{x^{101} - 1}{x - 1} = \frac{x^{101} - 1}{x - 1}$.

Ответ: $101$ при $x=1$; $\frac{x^{101} - 1}{x - 1}$ при $x \neq 1$.

б)

Данное выражение $x + x^3 + x^5 + \ldots + x^{35}$ является суммой членов конечной геометрической прогрессии.

Первый член прогрессии $b_1 = x$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{x^3}{x} = x^2$.

Для нахождения числа членов $n$ воспользуемся формулой n-го члена $b_n = b_1 q^{n-1}$. Последний член $b_n = x^{35}$.

$x^{35} = x \cdot (x^2)^{n-1} = x \cdot x^{2(n-1)} = x^{1+2n-2} = x^{2n-1}$.

Приравнивая показатели степени, получаем $35 = 2n-1$, откуда $2n = 36$ и $n = 18$.

Используем формулу суммы $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$ при $q \neq 1$.

Рассмотрим случаи:

1. Если знаменатель $q = 1$, то есть $x^2 = 1$, что означает $x=1$ или $x=-1$.

- При $x=1$: $S_{18} = 1 + 1^3 + \ldots + 1^{35} = \underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{18 \text{ раз}} = 18$.

- При $x=-1$: $S_{18} = -1 + (-1)^3 + \ldots + (-1)^{35} = \underbrace{-1 - 1 - \ldots - 1}_{18 \text{ раз}} = -18$.

2. Если знаменатель $q \neq 1$, то есть $x^2 \neq 1$ ($x \neq 1$ и $x \neq -1$). Применяем формулу:

$S_{18} = x \frac{(x^2)^{18} - 1}{x^2 - 1} = x \frac{x^{36} - 1}{x^2 - 1}$.

Ответ: $18$ при $x=1$; $-18$ при $x=-1$; $x \frac{x^{36} - 1}{x^2 - 1}$ при $x \neq \pm 1$.

в)

Данное выражение $x^2 - x^4 + x^6 - \ldots - x^{20}$ является суммой членов конечной геометрической прогрессии со знакочередованием.

Первый член прогрессии $b_1 = x^2$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{-x^4}{x^2} = -x^2$.

n-й член прогрессии имеет вид $b_n = b_1 q^{n-1} = x^2 (-x^2)^{n-1} = (-1)^{n-1} x^{2n}$. Последний член равен $-x^{20}$.

Приравнивая $b_n$ к последнему члену, получаем: $(-1)^{n-1} x^{2n} = -x^{20}$.

Из равенства степеней $x$ следует, что $2n=20$, откуда $n=10$. Проверим знак: для $n=10$ множитель $(-1)^{10-1} = (-1)^9 = -1$, что соответствует знаку последнего члена. Итак, в прогрессии $n=10$ членов.

Воспользуемся формулой суммы $S_n = b_1 \frac{1-q^n}{1-q}$.

Знаменатель $1-q = 1 - (-x^2) = 1+x^2$. Для любого действительного $x$, $x^2 \ge 0$, следовательно $1+x^2 \ge 1$. Знаменатель никогда не равен нулю, поэтому нет необходимости рассматривать особые случаи.

Подставляем наши значения в формулу:

$S_{10} = x^2 \frac{1 - (-x^2)^{10}}{1 - (-x^2)} = x^2 \frac{1 - (x^2)^{10}}{1 + x^2} = \frac{x^2(1 - x^{20})}{1 + x^2}$.

Ответ: $\frac{x^2(1 - x^{20})}{1 + x^2}$.

г)

Данное выражение $\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} + \ldots + \frac{1}{x^{40}}$ является суммой членов конечной геометрической прогрессии (при условии $x \neq 0$).

Первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{x}$.

Знаменатель прогрессии $q = \frac{1/x^2}{1/x} = \frac{1}{x}$.

Показатели степени $x$ в знаменателе принимают значения от 1 до 40, следовательно, в прогрессии $n=40$ членов.

Используем формулу суммы $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1}$ при $q \neq 1$.

Рассмотрим два случая:

1. Если знаменатель $q = 1$, то есть $\frac{1}{x}=1$, что означает $x=1$. В этом случае сумма равна сумме 40 единиц: $S_{40} = \underbrace{1 + 1 + \ldots + 1}_{40 \text{ раз}} = 40$.

2. Если знаменатель $q \neq 1$, то есть $x \neq 1$ (и $x \neq 0$ по условию). Применяем формулу:

$S_{40} = \frac{1}{x} \cdot \frac{(\frac{1}{x})^{40} - 1}{\frac{1}{x} - 1} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x^{40}} - 1}{\frac{1-x}{x}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{\frac{1-x^{40}}{x^{40}}}{\frac{1-x}{x}}$.

Упростим полученное выражение, "перевернув" дробь в знаменателе:

$S_{40} = \frac{1}{x} \cdot \frac{1-x^{40}}{x^{40}} \cdot \frac{x}{1-x} = \frac{1-x^{40}}{x^{40}(1-x)}$.

Ответ: $40$ при $x=1$; $\frac{1-x^{40}}{x^{40}(1-x)}$ при $x \neq 1, x \neq 0$.