Номер 17.46, страница 115, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.46 Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда образуют геометрическую прогрессию. Объём параллелепипеда равен 216 $м^3$, а сумма длин всех его рёбер равна 104 м. Найдите измерения параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда (длина, ширина и высота) образуют геометрическую прогрессию. Обозначим их как $b_1$, $b_2$ и $b_3$. Для удобства расчетов представим их в виде $b_1 = \frac{a}{q}$, $b_2 = a$, $b_3 = aq$, где $a$ — средний член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Объём параллелепипеда $V$ равен произведению его измерений. По условию задачи, объём равен 216 м³.$V = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 = \frac{a}{q} \cdot a \cdot aq = a^3$

Составим и решим уравнение для нахождения среднего члена $a$:$a^3 = 216$$a = \sqrt[3]{216}$$a = 6$ м.

Таким образом, одно из измерений параллелепипеда равно 6 м, а два других равны $\frac{6}{q}$ и $6q$.

Сумма длин всех рёбер прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $L = 4(b_1 + b_2 + b_3)$. По условию, эта сумма равна 104 м.$4(\frac{6}{q} + 6 + 6q) = 104$

Разделим обе части уравнения на 4:$\frac{6}{q} + 6 + 6q = \frac{104}{4}$$\frac{6}{q} + 6 + 6q = 26$

Теперь решим это уравнение относительно $q$:$\frac{6}{q} + 6q = 26 - 6$$\frac{6}{q} + 6q = 20$

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на $q$ (при $q \ne 0$):$6 + 6q^2 = 20q$

Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $Ax^2+Bx+C=0$:$6q^2 - 20q + 6 = 0$

Для упрощения разделим все коэффициенты на 2:$3q^2 - 10q + 3 = 0$

Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$$q = \frac{-(-10) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 8}{6}$

Мы получили два возможных значения для знаменателя прогрессии $q$:$q_1 = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$$q_2 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Теперь найдём набор измерений для каждого из значений $q$. Измерения равны $\frac{6}{q}$, 6 и $6q$.
- При $q = 3$ измерения равны: $\frac{6}{3} = 2$ м, $6$ м, $6 \cdot 3 = 18$ м.
- При $q = \frac{1}{3}$ измерения равны: $\frac{6}{1/3} = 18$ м, $6$ м, $6 \cdot \frac{1}{3} = 2$ м.

В обоих случаях мы получаем один и тот же набор измерений. Проверим их:
- Геометрическая прогрессия: 2, 6, 18 (знаменатель 3).
- Объём: $V = 2 \cdot 6 \cdot 18 = 216$ м³.
- Сумма длин рёбер: $L = 4(2 + 6 + 18) = 4(26) = 104$ м.
Все условия задачи выполнены.

Ответ: измерения параллелепипеда равны 2 м, 6 м и 18 м.