Номер 17.42, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.42 Первый член возрастающей геометрической прогрессии $ (b_n) $ равен 4, а сумма третьего и пятого членов равна 80. Найдите $ q $ и $ b_{10} $, если известно, что прогрессия возрастающая.

По условию задачи, нам дана возрастающая геометрическая прогрессия $(b_n)$, у которой первый член $b_1 = 4$, а сумма третьего и пятого членов равна 80, то есть $b_3 + b_5 = 80$.

Общая формула для $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — знаменатель прогрессии.

Используя эту формулу, выразим третий и пятый члены прогрессии:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Подставим эти выражения в уравнение $b_3 + b_5 = 80$ и заменим $b_1$ на известное значение 4:

$4q^2 + 4q^4 = 80$

Разделим обе части уравнения на 4:

$q^2 + q^4 = 20$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное уравнение:

$q^4 + q^2 - 20 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $t = q^2$. Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 + t - 20 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней $t_1+t_2 = -1$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -20$. Корни легко находятся: $t_1 = 4$ и $t_2 = -5$.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Остается единственный действительный корень: $t_1 = 4$.

Вернемся к замене $q^2 = t$:

$q^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для знаменателя $q$: $q = 2$ и $q = -2$.

По условию, прогрессия является возрастающей. Для геометрической прогрессии с положительным первым членом ($b_1 = 4 > 0$) это означает, что знаменатель прогрессии должен быть больше единицы ($q > 1$).

Из двух найденных значений для $q$ только $q = 2$ удовлетворяет этому условию. При $q = -2$ прогрессия будет знакочередующейся ($4, -8, 16, \dots$) и не будет возрастающей.

Таким образом, мы нашли знаменатель прогрессии: $q = 2$.

Теперь найдем десятый член прогрессии $b_{10}$.

Используем формулу $n$-го члена для $n=10$:

$b_{10} = b_1 \cdot q^{10-1} = b_1 \cdot q^9$

Подставим известные значения $b_1 = 4$ и $q = 2$:

$b_{10} = 4 \cdot 2^9$

Вычислим значение. Поскольку $4 = 2^2$, то:

$b_{10} = 2^2 \cdot 2^9 = 2^{2+9} = 2^{11}$

$b_{10} = 2048$

Ответ: $q = 2$, $b_{10} = 2048$.