Номер 17.36, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.36 Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, заданной формулой n-го члена:

а) $b_n = \frac{2}{5} \cdot 3^n;$

б) $b_n = \frac{0,3}{(-5)^{n-1}};$

в) $b_n = \frac{5}{2^n};$

г) $b_n = -\frac{1}{7} \cdot 2^{n+1}.$

Чтобы найти первый член ($b_1$) и знаменатель ($q$) геометрической прогрессии, можно использовать два основных подхода:
1. Найти первые два члена прогрессии, подставив $n=1$ и $n=2$ в заданную формулу. Первый член будет равен $b_1$, а знаменатель $q$ можно найти по формуле $q = \frac{b_2}{b_1}$.
2. Привести заданную формулу к стандартному виду формулы n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Из этого вида можно сразу определить $b_1$ и $q$.

а) Дана формула n-го члена: $b_n = \frac{2}{5} \cdot 3^n$.

Найдем первый член $b_1$, подставив $n=1$:

$b_1 = \frac{2}{5} \cdot 3^1 = \frac{6}{5}$.

Найдем второй член $b_2$, подставив $n=2$:

$b_2 = \frac{2}{5} \cdot 3^2 = \frac{2}{5} \cdot 9 = \frac{18}{5}$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{18}{5}}{\frac{6}{5}} = \frac{18}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

Проверка через приведение к стандартному виду:

$b_n = \frac{2}{5} \cdot 3^n = \frac{2}{5} \cdot 3 \cdot 3^{n-1} = \frac{6}{5} \cdot 3^{n-1}$.

Сравнивая с $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, получаем $b_1 = \frac{6}{5}$ и $q = 3$.

Ответ: $b_1 = \frac{6}{5}$, $q = 3$.

б) Дана формула n-го члена: $b_n = \frac{0,3}{(-5)^{n-1}}$.

Формулу можно переписать в стандартном виде $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$:

$b_n = 0,3 \cdot \frac{1}{(-5)^{n-1}} = 0,3 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{n-1}$.

Из этого вида сразу видно, что:

Первый член $b_1 = 0,3$.

Знаменатель $q = -\frac{1}{5}$.

Проверка через вычисление первых двух членов:

$b_1 = \frac{0,3}{(-5)^{1-1}} = \frac{0,3}{(-5)^0} = \frac{0,3}{1} = 0,3$.

$b_2 = \frac{0,3}{(-5)^{2-1}} = \frac{0,3}{-5} = -0,06$.

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-0,06}{0,3} = -\frac{6}{30} = -\frac{1}{5}$.

Ответ: $b_1 = 0,3$, $q = -\frac{1}{5}$.

в) Дана формула n-го члена: $b_n = \frac{5}{2^n}$.

Найдем первый член $b_1$ ($n=1$):

$b_1 = \frac{5}{2^1} = \frac{5}{2}$.

Найдем второй член $b_2$ ($n=2$):

$b_2 = \frac{5}{2^2} = \frac{5}{4}$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{2}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Проверка через приведение к стандартному виду:

$b_n = \frac{5}{2^n} = 5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 5 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Сравнивая с $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, получаем $b_1 = \frac{5}{2}$ и $q = \frac{1}{2}$.

Ответ: $b_1 = \frac{5}{2}$, $q = \frac{1}{2}$.

г) Дана формула n-го члена: $b_n = -\frac{1}{7} \cdot 2^{n+1}$.

Найдем первый член $b_1$ ($n=1$):

$b_1 = -\frac{1}{7} \cdot 2^{1+1} = -\frac{1}{7} \cdot 2^2 = -\frac{4}{7}$.

Найдем второй член $b_2$ ($n=2$):

$b_2 = -\frac{1}{7} \cdot 2^{2+1} = -\frac{1}{7} \cdot 2^3 = -\frac{8}{7}$.

Теперь найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-\frac{8}{7}}{-\frac{4}{7}} = \frac{8}{7} \cdot \frac{7}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Проверка через приведение к стандартному виду:

Используем свойство степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$. Нам нужен показатель $n-1$, поэтому представим $n+1$ как $(n-1)+2$.

$b_n = -\frac{1}{7} \cdot 2^{(n-1)+2} = -\frac{1}{7} \cdot 2^2 \cdot 2^{n-1} = -\frac{4}{7} \cdot 2^{n-1}$.

Сравнивая с $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, получаем $b_1 = -\frac{4}{7}$ и $q = 2$.

Ответ: $b_1 = -\frac{4}{7}$, $q = 2$.