Номер 17.32, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.32 Найдите те значения переменной $t$, при которых числа $t$, $4t$, $8$ являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Для того чтобы три числа $b_1$, $b_2$, $b_3$ были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось свойство геометрической прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению его соседей. Математически это записывается как $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

В нашем случае даны числа $t$, $4t$ и $8$. Примем их за последовательные члены геометрической прогрессии:

$b_1 = t$

$b_2 = 4t$

$b_3 = 8$

Подставим эти значения в характеристическое свойство:

$(4t)^2 = t \cdot 8$

Решим полученное уравнение:

$16t^2 = 8t$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

$16t^2 - 8t = 0$

Вынесем общий множитель $8t$ за скобки:

$8t(2t - 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $t$:

1) $8t = 0 \implies t = 0$

2) $2t - 1 = 0 \implies 2t = 1 \implies t = 1/2$

Теперь проверим оба значения. По определению, члены геометрической прогрессии должны быть отличны от нуля (или, по крайней мере, первый член и знаменатель должны быть ненулевыми).

Если $t = 0$, то последовательность чисел будет: $0, 0, 8$. Эта последовательность не является геометрической прогрессией, так как отношение второго члена к первому ($0/0$) не определено, а отношение третьего ко второму ($8/0$) также не определено. Следовательно, значение $t=0$ не является решением.

Если $t = 1/2$, то последовательность чисел будет:

$b_1 = 1/2$

$b_2 = 4 \cdot (1/2) = 2$

$b_3 = 8$

Получили последовательность $1/2, 2, 8$. Проверим, является ли она геометрической прогрессией. Найдем знаменатель прогрессии $q$:

$q = b_2 / b_1 = 2 / (1/2) = 4$

$q = b_3 / b_2 = 8 / 2 = 4$

Так как отношения соседних членов равны, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=4$. Следовательно, значение $t = 1/2$ является решением.

Ответ: $t = 1/2$.