Номер 17.30, страница 112, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.30 Для геометрической прогрессии ($b_n$) заполните таблицу:

$b_1$ - $q$ - $n$ - $b_n$ - $S_n$

15 - - 3 - - $21\frac{2}{3}$

- - - 3 - 18 - 26

- $\frac{1}{2}$ - 6 - $2\frac{17}{32}$ -

$\sqrt{3}$ - $\sqrt{3}$ - - - $4(3+\sqrt{3})$

- $\frac{1}{3}$ - 6 - $\frac{5}{81}$ -

$\frac{25}{169}$ - $\frac{13}{5}$ - 4 - -

$2\sqrt{6}$ - $\frac{1}{\sqrt{6}}$ - - $\frac{1}{3}$ -

Для решения задач воспользуемся основными формулами для геометрической прогрессии ($b_n$):

• Формула n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии.
• Формула суммы первых n членов: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ или $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$ (при $q \neq 1$).

Строка 1

Дано: $b_1 = 15$, $n = 3$, $S_3 = 21 \frac{2}{3} = \frac{65}{3}$.

Нужно найти: $q$ и $b_3$.

Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$. При $n=3$ и $q \neq 1$, ее можно записать как $S_3 = \frac{b_1(q-1)(q^2+q+1)}{q-1} = b_1(q^2+q+1)$.

Подставим известные значения:

$\frac{65}{3} = 15(q^2+q+1)$

Разделим обе части на 15:

$\frac{65}{3 \cdot 15} = q^2+q+1$

$\frac{13}{9} = q^2+q+1$

$q^2+q+1 - \frac{13}{9} = 0$

$q^2+q - \frac{4}{9} = 0$

Умножим на 9, чтобы избавиться от дробей:

$9q^2+9q-4 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 9^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-4) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.

Корни уравнения: $q = \frac{-9 \pm 15}{18}$.

$q_1 = \frac{-9+15}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$

$q_2 = \frac{-9-15}{18} = \frac{-24}{18} = -\frac{4}{3}$

В задаче может быть два решения. Выберем положительное значение $q = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем $b_3$ по формуле n-го члена:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2 = 15 \cdot (\frac{1}{3})^2 = 15 \cdot \frac{1}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$.

Ответ: $q = \frac{1}{3}$, $b_n = \frac{5}{3}$.

Строка 2

Дано: $n = 3$, $b_3 = 18$, $S_3 = 26$.

Нужно найти: $b_1$ и $q$.

Используем формулы: $b_3 = b_1 q^2 = 18$ и $S_3 = \frac{b_3 q - b_1}{q - 1} = 26$.

Из второй формулы выразим $b_1$:

$18q - b_1 = 26(q-1)$

$18q - b_1 = 26q - 26$

$b_1 = 18q - 26q + 26 = 26 - 8q$.

Подставим это выражение для $b_1$ в первую формулу:

$(26-8q)q^2 = 18$

$26q^2 - 8q^3 = 18$

$8q^3 - 26q^2 + 18 = 0$

Разделим на 2: $4q^3 - 13q^2 + 9 = 0$.

Это кубическое уравнение. Проверим целые делители свободного члена (9): $\pm 1, \pm 3, \pm 9$.При $q=1$, $4-13+9=0$, значит $q=1$ является корнем. Если $q=1$, то $b_1=b_3=18$, а $S_3 = 3 \cdot 18 = 54 \neq 26$. Этот корень не подходит.

Разделим многочлен $4q^3 - 13q^2 + 9$ на $(q-1)$ и получим $4q^2 - 9q - 9 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 81 + 144 = 225 = 15^2$.

Корни: $q = \frac{9 \pm 15}{8}$.

$q_1 = \frac{9+15}{8} = \frac{24}{8} = 3$

$q_2 = \frac{9-15}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Выберем целочисленное значение $q=3$.

Найдем $b_1$: $b_1 = 26 - 8q = 26 - 8 \cdot 3 = 26 - 24 = 2$.

Проверка: $b_1=2, b_2=6, b_3=18$. $S_3 = 2+6+18=26$. Все верно.

Ответ: $b_1 = 2$, $q = 3$.

Строка 3

Дано: $q = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$, $n = 6$, $b_6 = 2\frac{17}{32} = \frac{81}{32}$.

Нужно найти: $b_1$ и $S_6$.

Найдем $b_1$ из формулы $b_n = b_1 q^{n-1}$:

$b_6 = b_1 q^5 \implies \frac{81}{32} = b_1 (\frac{3}{2})^5 = b_1 \frac{243}{32}$.

$b_1 = \frac{81}{32} \cdot \frac{32}{243} = \frac{81}{243} = \frac{1}{3}$.

Теперь найдем $S_6$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:

$S_6 = \frac{\frac{81}{32} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{3}}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{\frac{243}{64} - \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{729-64}{192}}{\frac{1}{2}} = \frac{665}{192} \cdot 2 = \frac{665}{96}$.

Переведем в смешанную дробь: $665 \div 96 = 6$ (остаток $89$). $S_6 = 6\frac{89}{96}$.

Ответ: $b_1 = \frac{1}{3}$, $S_n = 6\frac{89}{96}$.

Строка 4

Дано: $b_1 = \sqrt{3}$, $q = \sqrt{3}$, $S_n = 4(3+\sqrt{3}) = 12+4\sqrt{3}$.

Нужно найти: $n$ и $b_n$.

Используем формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$:

$12+4\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}((\sqrt{3})^n - 1)}{\sqrt{3} - 1}$

$\sqrt{3}((\sqrt{3})^n - 1) = (12+4\sqrt{3})(\sqrt{3}-1) = 12\sqrt{3} - 12 + 4 \cdot 3 - 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$(\sqrt{3})^n - 1 = 8 \implies (\sqrt{3})^n = 9$.

Так как $9 = 3^2 = (\sqrt{3}^2)^2 = (\sqrt{3})^4$, то $n=4$.

Теперь найдем $b_n = b_4$:

$b_4 = b_1 q^{4-1} = b_1 q^3 = \sqrt{3} (\sqrt{3})^3 = (\sqrt{3})^4 = 9$.

Ответ: $n = 4$, $b_n = 9$.

Строка 5

Дано: $q = \frac{1}{3}$, $n=6$, $b_6 = \frac{5}{81}$.

Нужно найти: $b_1$ и $S_6$.

Найдем $b_1$ из формулы $b_n = b_1 q^{n-1}$:

$b_6 = b_1 q^5 \implies \frac{5}{81} = b_1 (\frac{1}{3})^5 = b_1 \frac{1}{243}$.

$b_1 = \frac{5}{81} \cdot 243 = 5 \cdot 3 = 15$.

Найдем $S_6$ по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$ (удобна при $|q|<1$):

$S_6 = \frac{15(1 - (\frac{1}{3})^6)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{15(1 - \frac{1}{729})}{\frac{2}{3}} = \frac{15(\frac{728}{729})}{\frac{2}{3}} = 15 \cdot \frac{728}{729} \cdot \frac{3}{2} = \frac{15 \cdot 364 \cdot 3}{729} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 364 \cdot 3}{243 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 364}{81} = \frac{1820}{81}$.

Переведем в смешанную дробь: $1820 \div 81 = 22$ (остаток $38$). $S_6 = 22\frac{38}{81}$.

Ответ: $b_1 = 15$, $S_n = 22\frac{38}{81}$.

Строка 6

Дано: $b_1 = \frac{25}{169}$, $q=\frac{13}{5}$, $n=4$.

Нужно найти: $b_4$ и $S_4$.

Найдем $b_4$:

$b_4 = b_1 q^3 = \frac{25}{169} \cdot (\frac{13}{5})^3 = \frac{5^2}{13^2} \cdot \frac{13^3}{5^3} = \frac{13}{5}$.

Найдем $S_4$ по формуле $S_n = \frac{b_n q - b_1}{q - 1}$:

$S_4 = \frac{\frac{13}{5} \cdot \frac{13}{5} - \frac{25}{169}}{\frac{13}{5} - 1} = \frac{\frac{169}{25} - \frac{25}{169}}{\frac{8}{5}} = \frac{\frac{169^2 - 25^2}{25 \cdot 169}}{\frac{8}{5}} = \frac{\frac{28561 - 625}{4225}}{\frac{8}{5}} = \frac{\frac{27936}{4225}}{\frac{8}{5}}$.

$S_4 = \frac{27936}{4225} \cdot \frac{5}{8} = \frac{3492}{845}$.

Переведем в смешанную дробь: $3492 \div 845 = 4$ (остаток $112$). $S_4 = 4\frac{112}{845}$.

Ответ: $b_n = \frac{13}{5}$, $S_n = 4\frac{112}{845}$.

Строка 7

Дано: $b_1 = 2\sqrt{6}$, $q = \frac{1}{\sqrt{6}}$, $b_n = \frac{1}{3}$.

Нужно найти: $n$ и $S_n$.

Найдем $n$ из формулы $b_n = b_1 q^{n-1}$:

$\frac{1}{3} = 2\sqrt{6} \cdot (\frac{1}{\sqrt{6}})^{n-1}$

$\frac{1}{3 \cdot 2\sqrt{6}} = (\frac{1}{\sqrt{6}})^{n-1} \implies \frac{1}{6\sqrt{6}} = (\frac{1}{\sqrt{6}})^{n-1}$.

Так как $6\sqrt{6} = (\sqrt{6})^3$, то $(\frac{1}{\sqrt{6}})^3 = (\frac{1}{\sqrt{6}})^{n-1}$.

Отсюда $3 = n-1$, следовательно $n=4$.

Найдем $S_n = S_4$ по формуле $S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$:

$S_4 = \frac{2\sqrt{6}(1 - (\frac{1}{\sqrt{6}})^4)}{1 - \frac{1}{\sqrt{6}}} = \frac{2\sqrt{6}(1 - \frac{1}{36})}{\frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{6}}} = \frac{2\sqrt{6}(\frac{35}{36})\sqrt{6}}{\sqrt{6}-1} = \frac{2 \cdot 6 \cdot 35}{36(\sqrt{6}-1)} = \frac{12 \cdot 35}{36(\sqrt{6}-1)} = \frac{35}{3(\sqrt{6}-1)}$.

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $(\sqrt{6}+1)$:

$S_4 = \frac{35(\sqrt{6}+1)}{3(\sqrt{6}-1)(\sqrt{6}+1)} = \frac{35(\sqrt{6}+1)}{3(6-1)} = \frac{35(\sqrt{6}+1)}{3 \cdot 5} = \frac{7(\sqrt{6}+1)}{3}$.

Ответ: $n = 4$, $S_n = \frac{7(\sqrt{6}+1)}{3}$.