Номер 17.24, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.24 В правильный треугольник со стороной 32 см последовательно вписываются треугольники; вершины каждого последующего треугольника являются серединами сторон предыдущего треугольника. Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию. Запишите формулу n-го члена полученной прогрессии.

Докажите, что периметры треугольников образуют геометрическую прогрессию.

Пусть $T_1$ — исходный правильный треугольник. Его сторона по условию $a_1 = 32$ см. Периметр этого треугольника $P_1 = 3 \cdot a_1 = 3 \cdot 32 = 96$ см.

Второй треугольник $T_2$ вписывается в $T_1$ так, что его вершины являются серединами сторон $T_1$. Каждая сторона треугольника $T_2$ является средней линией треугольника $T_1$. По свойству средней линии, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна.

Поскольку $T_1$ — правильный треугольник, все его стороны равны $a_1$. Следовательно, все стороны $T_2$ также равны между собой и их длина $a_2 = \frac{a_1}{2}$. Это означает, что $T_2$ также является правильным треугольником.

Периметр треугольника $T_2$ равен $P_2 = 3 \cdot a_2 = 3 \cdot \frac{a_1}{2} = \frac{3a_1}{2} = \frac{P_1}{2}$.

Рассмотрим общий случай. Пусть $T_n$ — это n-й треугольник в последовательности, который является правильным со стороной $a_n$ и периметром $P_n = 3a_n$. Следующий треугольник $T_{n+1}$ образован соединением середин сторон треугольника $T_n$. Его стороны являются средними линиями $T_n$, поэтому $T_{n+1}$ — также правильный треугольник со стороной $a_{n+1} = \frac{a_n}{2}$.

Периметр треугольника $T_{n+1}$ равен $P_{n+1} = 3 \cdot a_{n+1} = 3 \cdot \frac{a_n}{2} = \frac{3a_n}{2} = \frac{P_n}{2}$.

Мы получили, что для любого $n \geq 1$ выполняется соотношение $P_{n+1} = P_n \cdot \frac{1}{2}$. Это означает, что каждый следующий член последовательности периметров получается из предыдущего умножением на постоянное число $q = \frac{1}{2}$.

По определению, такая последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ: Последовательность периметров треугольников является геометрической прогрессией, так как отношение каждого последующего члена к предыдущему постоянно и равно $\frac{1}{2}$.

Запишите формулу n-го члена полученной прогрессии.

Для того чтобы записать формулу n-го члена геометрической прогрессии, необходимо знать ее первый член $P_1$ и знаменатель $q$.

Первый член прогрессии — это периметр исходного треугольника: $P_1 = 96$ см.

Знаменатель прогрессии, как было доказано выше, равен $q = \frac{1}{2}$.

Общая формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Применительно к нашей задаче, формула для n-го периметра $P_n$ будет выглядеть так: $P_n = P_1 \cdot q^{n-1} = 96 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

Ответ: $P_n = 96 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.