Номер 17.18, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.18 Дана конечная геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите $b_n$, если из-вестно, что:

a) $b_1 = 1, q = 3, n = 10;$

б) $b_1 = \frac{1}{2}, q = -\frac{1}{3}, n = 6;$

в) $b_1 = 8, q = \frac{1}{2}, n = 5;$

г) $b_1 = 2,5, q = 1,5, n = 5.$

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ используется формула: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

а)

Даны значения: $b_1 = 1$, $q = 3$, $n = 10$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения $b_{10}$:

$b_{10} = b_1 \cdot q^{n-1} = 1 \cdot 3^{10-1} = 1 \cdot 3^9$

Вычислим значение $3^9$:

$3^9 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 19683$

Следовательно, $b_{10} = 19683$.

Ответ: $19683$.

б)

Даны значения: $b_1 = \frac{1}{2}$, $q = -\frac{1}{3}$, $n = 6$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения $b_6$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3})^{6-1} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{3})^5$

Вычислим значение $(-\frac{1}{3})^5$:

$(-\frac{1}{3})^5 = -\frac{1^5}{3^5} = -\frac{1}{243}$

Теперь умножим результат на $b_1$:

$b_6 = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{243}) = -\frac{1}{2 \cdot 243} = -\frac{1}{486}$

Ответ: $-\frac{1}{486}$.

в)

Даны значения: $b_1 = 8$, $q = \frac{1}{2}$, $n = 5$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения $b_5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{n-1} = 8 \cdot (\frac{1}{2})^{5-1} = 8 \cdot (\frac{1}{2})^4$

Вычислим значение $(\frac{1}{2})^4$:

$(\frac{1}{2})^4 = \frac{1^4}{2^4} = \frac{1}{16}$

Теперь умножим результат на $b_1$:

$b_5 = 8 \cdot \frac{1}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$.

г)

Даны значения: $b_1 = 2,5$, $q = 1,5$, $n = 5$.

Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $b_1 = 2,5 = \frac{5}{2}$ и $q = 1,5 = \frac{3}{2}$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения $b_5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{n-1} = \frac{5}{2} \cdot (\frac{3}{2})^{5-1} = \frac{5}{2} \cdot (\frac{3}{2})^4$

Вычислим значение $(\frac{3}{2})^4$:

$(\frac{3}{2})^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$

Теперь умножим результат на $b_1$:

$b_5 = \frac{5}{2} \cdot \frac{81}{16} = \frac{5 \cdot 81}{2 \cdot 16} = \frac{405}{32}$

Результат можно также представить в виде десятичной дроби: $b_5 = 12,65625$.

Ответ: $\frac{405}{32}$ или $12,65625$.