Номер 17.19, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Найдите знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если:

17.19 a) $b_1 = 7, b_4 = 448;$

б) $b_1 = -\sqrt{2}, b_8 = 16;$

в) $b_1 = 35, b_4 = \frac{5}{49};$

г) $b_1 = \frac{9}{5}, b_6 = -\frac{1}{135}.$

a) Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $q$ используется формула $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В данном задании известны первый член прогрессии $b_1 = 7$ и четвертый член $b_4 = 448$.
Подставим известные значения в формулу для $n=4$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$
$448 = 7 \cdot q^3$
Чтобы найти $q$, сначала выразим $q^3$:
$q^3 = \frac{448}{7}$
$q^3 = 64$
Теперь извлечем кубический корень из 64:
$q = \sqrt[3]{64}$
$q = 4$
Ответ: 4

б) Аналогично предыдущему пункту, используем формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Даны $b_1 = -\sqrt{2}$ и $b_8 = 16$.
Подставим значения для $n=8$:
$b_8 = b_1 \cdot q^{8-1}$
$16 = (-\sqrt{2}) \cdot q^7$
Выразим $q^7$:
$q^7 = \frac{16}{-\sqrt{2}}$
Для упрощения выражения представим число 16 как степень $\sqrt{2}$. Поскольку $16 = 2^4$ и $2 = (\sqrt{2})^2$, то $16 = ((\sqrt{2})^2)^4 = (\sqrt{2})^8$.
$q^7 = -\frac{(\sqrt{2})^8}{\sqrt{2}} = -(\sqrt{2})^{8-1} = -(\sqrt{2})^7$
Так как степень 7 является нечетной, то $-(\sqrt{2})^7 = (-\sqrt{2})^7$.
Получаем уравнение: $q^7 = (-\sqrt{2})^7$
Отсюда следует, что $q = -\sqrt{2}$.
Ответ: $-\sqrt{2}$

в) В этом случае даны $b_1 = 35$ и $b_4 = \frac{5}{49}$. Применяем формулу $n$-го члена для $n=4$:
$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1}$
$\frac{5}{49} = 35 \cdot q^3$
Выразим $q^3$:
$q^3 = \frac{5}{49 \cdot 35}$
Сократим дробь на 5:
$q^3 = \frac{1}{49 \cdot 7}$
Так как $49 = 7^2$, то знаменатель равен $49 \cdot 7 = 7^2 \cdot 7 = 7^3$.
$q^3 = \frac{1}{7^3} = (\frac{1}{7})^3$
Извлекаем кубический корень из обеих частей уравнения:
$q = \frac{1}{7}$
Ответ: $\frac{1}{7}$

г) Даны $b_1 = \frac{9}{5}$ и $b_6 = -\frac{1}{135}$. Используем формулу $n$-го члена для $n=6$:
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$
$-\frac{1}{135} = \frac{9}{5} \cdot q^5$
Выразим $q^5$:
$q^5 = -\frac{1}{135} \div \frac{9}{5} = -\frac{1}{135} \cdot \frac{5}{9}$
$q^5 = -\frac{5}{135 \cdot 9}$
Разложим число 135 на множители: $135 = 5 \cdot 27$.
$q^5 = -\frac{5}{5 \cdot 27 \cdot 9} = -\frac{1}{27 \cdot 9}$
Представим знаменатель в виде степени числа 3. Так как $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$, то $27 \cdot 9 = 3^3 \cdot 3^2 = 3^5$.
$q^5 = -\frac{1}{3^5} = (-\frac{1}{3})^5$
Так как степени равны, то и основания равны:
$q = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$