Номер 17.17, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.17 Является ли число $B$ членом геометрической прогрессии ($b_n$)? Если да, то укажите его номер:

а) $b_n = \frac{1}{6} \cdot 0,1^{2n+1}$, $B = \frac{1}{600}$;

б) $b_n = 0,002 \cdot (\sqrt{5})^{n-4}$, $B = 0,25$;

в) $b_n = \frac{7}{9} \cdot 3^{n-8}$, $B = 63$;

г) $b_n = \frac{6}{7} \cdot 0,5^{3n+5}$, $B = \frac{3}{14}$.

а) Чтобы определить, является ли число $B = \frac{1}{600}$ членом геометрической прогрессии $b_n = \frac{1}{6} \cdot 0,1^{2n+1}$, необходимо приравнять $b_n$ к $B$ и решить полученное уравнение относительно $n$. Номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом.

Приравняем $b_n$ к $B$:

$ \frac{1}{6} \cdot 0,1^{2n+1} = \frac{1}{600} $

Умножим обе части уравнения на 6:

$ 0,1^{2n+1} = \frac{6}{600} $

$ 0,1^{2n+1} = \frac{1}{100} $

Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 10. Так как $0,1 = 10^{-1}$ и $\frac{1}{100} = 10^{-2}$, получаем:

$ (10^{-1})^{2n+1} = 10^{-2} $

$ 10^{-(2n+1)} = 10^{-2} $

Так как основания степеней равны, можем приравнять их показатели:

$ -(2n+1) = -2 $

$ 2n+1 = 2 $

$ 2n = 1 $

$ n = \frac{1}{2} $

Поскольку $n = \frac{1}{2}$ не является натуральным числом, число $B$ не является членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: нет.

б) Проверим, является ли число $B = 0,25$ членом геометрической прогрессии $b_n = 0,002 \cdot (\sqrt{5})^{n-4}$.

Приравняем $b_n$ к $B$:

$ 0,002 \cdot (\sqrt{5})^{n-4} = 0,25 $

Переведем десятичные дроби в обыкновенные для удобства вычислений: $0,002 = \frac{2}{1000} = \frac{1}{500}$ и $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

$ \frac{1}{500} \cdot (\sqrt{5})^{n-4} = \frac{1}{4} $

Умножим обе части уравнения на 500:

$ (\sqrt{5})^{n-4} = \frac{500}{4} $

$ (\sqrt{5})^{n-4} = 125 $

Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 5. Так как $\sqrt{5} = 5^{1/2}$ и $125 = 5^3$, получаем:

$ (5^{1/2})^{n-4} = 5^3 $

$ 5^{\frac{n-4}{2}} = 5^3 $

Приравниваем показатели степеней:

$ \frac{n-4}{2} = 3 $

$ n-4 = 6 $

$ n = 10 $

Поскольку $n = 10$ является натуральным числом, число $B$ является десятым членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: да, его номер 10.

в) Проверим, является ли число $B = 63$ членом геометрической прогрессии $b_n = \frac{7}{9} \cdot 3^{n-8}$.

Приравняем $b_n$ к $B$:

$ \frac{7}{9} \cdot 3^{n-8} = 63 $

Разделим обе части уравнения на 7:

$ \frac{1}{9} \cdot 3^{n-8} = 9 $

Умножим обе части на 9:

$ 3^{n-8} = 81 $

Представим 81 в виде степени с основанием 3: $81 = 3^4$.

$ 3^{n-8} = 3^4 $

Приравниваем показатели степеней:

$ n-8 = 4 $

$ n = 12 $

Поскольку $n = 12$ является натуральным числом, число $B$ является двенадцатым членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: да, его номер 12.

г) Проверим, является ли число $B = \frac{3}{14}$ членом геометрической прогрессии $b_n = \frac{6}{7} \cdot 0,5^{3n+5}$.

Приравняем $b_n$ к $B$:

$ \frac{6}{7} \cdot 0,5^{3n+5} = \frac{3}{14} $

Умножим обе части уравнения на $\frac{7}{6}$:

$ 0,5^{3n+5} = \frac{3}{14} \cdot \frac{7}{6} $

$ 0,5^{3n+5} = \frac{21}{84} $

$ 0,5^{3n+5} = \frac{1}{4} $

Представим обе части уравнения в виде степени с основанием 2. Так как $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $\frac{1}{4} = 2^{-2}$, получаем:

$ (2^{-1})^{3n+5} = 2^{-2} $

$ 2^{-(3n+5)} = 2^{-2} $

Приравниваем показатели степеней:

$ -(3n+5) = -2 $

$ 3n+5 = 2 $

$ 3n = -3 $

$ n = -1 $

Поскольку $n = -1$ не является натуральным числом, число $B$ не является членом данной геометрической прогрессии.

Ответ: нет.