Номер 17.13, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

Составьте формулу $n$-го члена геометрической прогрессии:

17.13 а) $b_1 = 3, q = 2;$

б) $b_1 = -2,5, q = \frac{1}{\sqrt{2}};$

в) $b_1 = 2,5, q = -0,2;$

г) $b_1 = 3\sqrt{3}, q = 3^{-1}.$

Для того чтобы составить формулу n-го члена геометрической прогрессии, используется стандартная формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Мы подставим данные значения для каждого случая в эту формулу.

а) Дано, что первый член прогрессии $b_1 = 3$, а знаменатель $q = 2$.
Подставляем эти значения в общую формулу:
$b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$
Это и есть искомая формула.
Ответ: $b_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

б) Дано, что первый член прогрессии $b_1 = -2,5$, а знаменатель $q = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Подставляем эти значения в общую формулу:
$b_n = -2,5 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$
Это и есть искомая формула.
Ответ: $b_n = -2,5 \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n-1}$

в) Дано, что первый член прогрессии $b_1 = 2,5$, а знаменатель $q = -0,2$.
Подставляем эти значения в общую формулу:
$b_n = 2,5 \cdot (-0,2)^{n-1}$
Это и есть искомая формула.
Ответ: $b_n = 2,5 \cdot (-0,2)^{n-1}$

г) Дано, что первый член прогрессии $b_1 = 3\sqrt{3}$, а знаменатель $q = 3^{-1}$.
Сначала преобразуем значение знаменателя: $q = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.
Теперь подставим $b_1$ и $q$ в общую формулу:
$b_n = 3\sqrt{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$
Эту формулу можно упростить, представив все члены как степени числа 3.
$b_1 = 3\sqrt{3} = 3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$
$q = \frac{1}{3} = 3^{-1}$
Подставим преобразованные значения в формулу:
$b_n = 3^{\frac{3}{2}} \cdot (3^{-1})^{n-1} = 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{-(n-1)} = 3^{\frac{3}{2} - n + 1} = 3^{\frac{5}{2} - n}$
Ответ: $b_n = 3\sqrt{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}$ (или в упрощенном виде $b_n = 3^{\frac{5}{2} - n}$)