Номер 17.11, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.11 Найдите указанный член геометрической прогрессии ($b_n$) по заданным условиям:

a) $b_1 = -2$, $q = -1\frac{1}{2}$; $b_4 = ?$

б) $b_1 = \sqrt{6}$, $q = \sqrt{2}$; $b_5 = ?$

в) $b_1 = 3$, $q = -0,75$; $b_4 = ?$

г) $b_1 = 5\sqrt{5}$, $q = (\sqrt{5})^{-1}$; $b_6 = ?$

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии ($b_n$) используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

а) По условию имеем $b_1 = -2$ и $q = -1\frac{1}{2}$. Требуется найти $b_4$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $q = -1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

Применим формулу для $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим значения и вычислим:

$b_4 = -2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^3 = -2 \cdot \left(-\frac{27}{8}\right) = \frac{2 \cdot 27}{8} = \frac{54}{8} = \frac{27}{4}$

Преобразуем ответ в смешанное число: $\frac{27}{4} = 6\frac{3}{4}$.

Ответ: $6\frac{3}{4}$.

б) По условию имеем $b_1 = \sqrt{6}$ и $q = \sqrt{2}$. Требуется найти $b_5$.

Применим формулу для $n=5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$

Подставим значения и вычислим:

$b_5 = \sqrt{6} \cdot (\sqrt{2})^4 = \sqrt{6} \cdot ((\sqrt{2})^2)^2 = \sqrt{6} \cdot 2^2 = 4\sqrt{6}$

Ответ: $4\sqrt{6}$.

в) По условию имеем $b_1 = 3$ и $q = -0,75$. Требуется найти $b_4$.

Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $q = -0,75 = -\frac{75}{100} = -\frac{3}{4}$.

Применим формулу для $n=4$:

$b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$

Подставим значения и вычислим:

$b_4 = 3 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)^3 = 3 \cdot \left(-\frac{27}{64}\right) = -\frac{81}{64}$

Преобразуем ответ в смешанное число: $-\frac{81}{64} = -1\frac{17}{64}$.

Ответ: $-1\frac{17}{64}$.

г) По условию имеем $b_1 = 5\sqrt{5}$ и $q = (\sqrt{5})^{-1}$. Требуется найти $b_6$.

Сначала упростим значение знаменателя: $q = (\sqrt{5})^{-1} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Применим формулу для $n=6$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5$

Подставим значения и вычислим:

$b_6 = 5\sqrt{5} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^5 = 5\sqrt{5} \cdot \frac{1}{(\sqrt{5})^5} = \frac{5\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^4 \cdot \sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{5}}{25\sqrt{5}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$.