Номер 17.15, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.15 Зная формулу $n$-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$, определите $b_1$ и $q$:

а) $b_n = 5^{n-1}$;

б) $b_n = \frac{3}{5} \cdot 2^n$;

в) $b_n = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}$;

г) $b_n = \frac{5}{2^{n+1}};

Для решения задачи необходимо привести каждую формулу n-го члена геометрической прогрессии к стандартному виду $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — это первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

а) $b_n = 5^{n-1}$

Данная формула уже представлена в стандартном виде. Мы можем записать её как $b_n = 1 \cdot 5^{n-1}$. Сравнивая это выражение с общей формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, мы можем напрямую определить значения $b_1$ и $q$.

Множитель перед степенью соответствует первому члену $b_1$, а основание степени — знаменателю прогрессии $q$.

Таким образом, $b_1 = 1$ и $q = 5$.

Для проверки можно вычислить первые два члена прогрессии:

Первый член ($n=1$): $b_1 = 5^{1-1} = 5^0 = 1$.

Второй член ($n=2$): $b_2 = 5^{2-1} = 5^1 = 5$.

Знаменатель $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5}{1} = 5$.

Результаты совпадают.

Ответ: $b_1 = 1$, $q = 5$.

б) $b_n = \frac{3}{5} \cdot 2^n$

Чтобы привести эту формулу к стандартному виду $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, необходимо преобразовать выражение $2^n$ так, чтобы показатель степени стал $n-1$.

Используя свойство степеней $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$, мы можем записать $2^n$ как $2^{n-1+1} = 2^{n-1} \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^{n-1}$.

Подставим это в исходную формулу:

$b_n = \frac{3}{5} \cdot (2 \cdot 2^{n-1}) = (\frac{3}{5} \cdot 2) \cdot 2^{n-1} = \frac{6}{5} \cdot 2^{n-1}$.

Теперь формула имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Сравнивая, получаем:

$b_1 = \frac{6}{5}$ и $q = 2$.

Проверим, вычислив $b_1$ и $b_2$ по исходной формуле:

$b_1 = \frac{3}{5} \cdot 2^1 = \frac{6}{5}$.

$b_2 = \frac{3}{5} \cdot 2^2 = \frac{3}{5} \cdot 4 = \frac{12}{5}$.

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{12/5}{6/5} = \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{12}{6} = 2$.

Результаты совпадают.

Ответ: $b_1 = \frac{6}{5}$, $q = 2$.

в) $b_n = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{1}{4})^{n-1}$

Эта формула уже соответствует стандартному виду $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Прямым сравнением определяем:

$b_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$q = \frac{1}{4}$

Проверка через вычисление первых членов:

$b_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{1}{4})^{1-1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{1}{4})^0 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$b_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{1}{4})^{2-1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (\frac{1}{4})^1 = \frac{\sqrt{3}}{8}$.

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\sqrt{3}/8}{\sqrt{3}/2} = \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Результаты совпадают.

Ответ: $b_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $q = \frac{1}{4}$.

г) $b_n = \frac{5}{2^{n+1}}$

Приведем данную формулу к стандартному виду $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Преобразуем знаменатель, используя свойства степеней:

$2^{n+1} = 2^{(n-1)+2} = 2^{n-1} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{n-1}$.

Подставим преобразованный знаменатель в формулу:

$b_n = \frac{5}{4 \cdot 2^{n-1}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{5}{4} \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$.

Теперь формула имеет стандартный вид. Сравнивая её с $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, находим:

$b_1 = \frac{5}{4}$ и $q = \frac{1}{2}$.

Проверим через вычисление:

$b_1 = \frac{5}{2^{1+1}} = \frac{5}{2^2} = \frac{5}{4}$.

$b_2 = \frac{5}{2^{2+1}} = \frac{5}{2^3} = \frac{5}{8}$.

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{5/8}{5/4} = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.

Результаты совпадают.

Ответ: $b_1 = \frac{5}{4}$, $q = \frac{1}{2}$.