Номер 17.22, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.22 Найдите первый член и знаменатель $q$ геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

а) $b_7 = 192$, $b_5 = 48$ $(q > 0)$;

б) $b_2 = 24$, $b_5 = 81$;

в) $b_3 = 3\frac{1}{4}$, $b_6 = -\frac{13}{32}$;

г) $b_3 = 12$, $b_5 = 48$ $(q < 0)$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель прогрессии. Также удобна в использовании производная формула $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$.

а) Дано: $b_7 = 192$, $b_5 = 48$ и $q > 0$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Используем формулу $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$ для $n=7$ и $m=5$:

$b_7 = b_5 \cdot q^{7-5}$

$192 = 48 \cdot q^2$

Выразим $q^2$:

$q^2 = \frac{192}{48} = 4$

Поскольку по условию $q > 0$, извлекаем положительный квадратный корень:

$q = \sqrt{4} = 2$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$. Используем формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$

$48 = b_1 \cdot 2^4$

$48 = b_1 \cdot 16$

$b_1 = \frac{48}{16} = 3$

Ответ: $b_1 = 3$, $q = 2$.

б) Дано: $b_2 = 24$, $b_5 = 81$.

Найдем знаменатель $q$, используя $b_5$ и $b_2$:

$b_5 = b_2 \cdot q^{5-2}$

$81 = 24 \cdot q^3$

$q^3 = \frac{81}{24} = \frac{27 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{27}{8}$

Извлекаем кубический корень:

$q = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$

Теперь найдем первый член $b_1$ из формулы для $b_2$:

$b_2 = b_1 \cdot q^{2-1} = b_1 \cdot q$

$24 = b_1 \cdot \frac{3}{2}$

$b_1 = 24 \div \frac{3}{2} = 24 \cdot \frac{2}{3} = 16$

Ответ: $b_1 = 16$, $q = \frac{3}{2}$.

в) Дано: $b_3 = 3\frac{1}{4}$, $b_6 = -\frac{13}{32}$.

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $b_3 = 3\frac{1}{4} = \frac{13}{4}$.

Найдем знаменатель $q$, используя $b_6$ и $b_3$:

$b_6 = b_3 \cdot q^{6-3}$

$-\frac{13}{32} = \frac{13}{4} \cdot q^3$

$q^3 = \left(-\frac{13}{32}\right) \div \left(\frac{13}{4}\right) = -\frac{13}{32} \cdot \frac{4}{13} = -\frac{4}{32} = -\frac{1}{8}$

Извлекаем кубический корень:

$q = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}} = -\frac{1}{2}$

Теперь найдем первый член $b_1$ из формулы для $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

$\frac{13}{4} = b_1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2$

$\frac{13}{4} = b_1 \cdot \frac{1}{4}$

$b_1 = 13$

Ответ: $b_1 = 13$, $q = -\frac{1}{2}$.

г) Дано: $b_3 = 12$, $b_5 = 48$ и $q < 0$.

Найдем знаменатель $q$, используя $b_5$ и $b_3$:

$b_5 = b_3 \cdot q^{5-3}$

$48 = 12 \cdot q^2$

$q^2 = \frac{48}{12} = 4$

Уравнение $q^2=4$ имеет два корня: $q=2$ и $q=-2$. По условию $q < 0$, следовательно, выбираем $q=-2$.

$q = -2$

Теперь найдем первый член $b_1$ из формулы для $b_3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

$12 = b_1 \cdot (-2)^2$

$12 = b_1 \cdot 4$

$b_1 = \frac{12}{4} = 3$

Ответ: $b_1 = 3$, $q = -2$.