Номер 17.25, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.25 Найдите сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии $(b_n)$, заданной следующими условиями:

a) $b_1 = 1, q = 2;$

б) $b_1 = 3, q = 4;$

в) $b_1 = 1, q = -\frac{1}{3};$

г) $b_1 = 4, q = -\frac{1}{2}.$

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, а $n$ — количество суммируемых членов. В данной задаче для всех пунктов необходимо найти сумму первых четырёх членов, то есть $n=4$.

а) Дано: первый член прогрессии $b_1 = 1$ и знаменатель $q = 2$.
Подставим эти значения в формулу для суммы первых четырёх членов:
$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{1(2^4 - 1)}{2 - 1} = \frac{1(16 - 1)}{1} = \frac{15}{1} = 15$.
Ответ: 15

б) Дано: $b_1 = 3, q = 4$.
Вычисляем сумму $S_4$:
$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{3(4^4 - 1)}{4 - 1} = \frac{3(256 - 1)}{3} = 255$.
Ответ: 255

в) Дано: $b_1 = 1, q = -\frac{1}{3}$.
Вычисляем сумму $S_4$:
$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{1((-\frac{1}{3})^4 - 1)}{-\frac{1}{3} - 1} = \frac{\frac{1}{81} - 1}{-\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{-\frac{80}{81}}{-\frac{4}{3}} = \frac{80}{81} \cdot \frac{3}{4} = \frac{20 \cdot 1}{27 \cdot 1} = \frac{20}{27}$.
Ответ: $\frac{20}{27}$

г) Дано: $b_1 = 4, q = -\frac{1}{2}$.
Вычисляем сумму $S_4$:
$S_4 = \frac{b_1(q^4 - 1)}{q - 1} = \frac{4((-\frac{1}{2})^4 - 1)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{4(\frac{1}{16} - 1)}{-\frac{3}{2}} = \frac{4(-\frac{15}{16})}{-\frac{3}{2}} = \frac{-\frac{15}{4}}{-\frac{3}{2}} = \frac{15}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2,5$.
Ответ: 2,5