Номер 17.20, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.20 a) $b_1 = 5, b_9 = 1280;$

б) $b_1 = 100, b_5 = \frac{4}{25};$

В) $b_1 = 2, b_7 = 1458;$

Г) $b_1 = 72, b_3 = 2.$

а)

Воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.
По условию задачи $b_1 = 5$ и $b_9 = 1280$. Подставим эти значения в формулу для n=9:
$b_9 = b_1 \cdot q^{9-1}$
$1280 = 5 \cdot q^8$
Теперь выразим $q^8$, разделив обе части уравнения на 5:
$q^8 = \frac{1280}{5}$
$q^8 = 256$
Поскольку $256 = 2^8$, получаем уравнение $q^8 = 2^8$. Так как показатель степени 8 является четным числом, существует два действительных решения для $q$.

Ответ: $q = 2$ или $q = -2$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
По условию дано: $b_1 = 100$ и $b_5 = \frac{4}{25}$. Подставим значения для n=5:
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$
$\frac{4}{25} = 100 \cdot q^4$
Выразим $q^4$:
$q^4 = \frac{4}{25 \cdot 100} = \frac{4}{2500} = \frac{1}{625}$
Поскольку $625 = 5^4$, то $q^4 = \frac{1}{5^4} = (\frac{1}{5})^4$. Так как показатель степени 4 является четным, существует два действительных решения для $q$.

Ответ: $q = \frac{1}{5}$ или $q = -\frac{1}{5}$.

в)

Снова используем формулу n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Дано: $b_1 = 2$ и $b_7 = 1458$. Подставим значения для n=7:
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1}$
$1458 = 2 \cdot q^6$
Выразим $q^6$, разделив обе части на 2:
$q^6 = \frac{1458}{2}$
$q^6 = 729$
Поскольку $729 = 3^6$, получаем $q^6 = 3^6$. Так как показатель степени 6 является четным, существует два действительных решения для $q$.

Ответ: $q = 3$ или $q = -3$.

г)

Используем ту же формулу $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Дано: $b_1 = 72$ и $b_3 = 2$. Подставим значения для n=3:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1}$
$2 = 72 \cdot q^2$
Выразим $q^2$:
$q^2 = \frac{2}{72} = \frac{1}{36}$
Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем два возможных значения для $q$.

Ответ: $q = \frac{1}{6}$ или $q = -\frac{1}{6}$.