Номер 17.27, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.27 Для геометрической прогрессии $(b_n)$ найдите $S_n$, если:

а) $b_1 = 5, q = 2, n = 6;$

б) $b_1 = -1, q = -1.5, n = 8;$

в) $b_1 = -4, q = \frac{1}{2}, n = 13;$

г) $b_1 = 4.5, q = \frac{1}{3}, n = 8.$

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии ($S_n$) используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$ (при $q \neq 1$), где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель прогрессии, $n$ — количество членов.

а)

Дано: $b_1 = 5$, $q = 2$, $n = 6$.

Подставим известные значения в формулу суммы геометрической прогрессии:

$S_6 = \frac{5(2^6 - 1)}{2 - 1}$

Сначала вычислим $2^6$:

$2^6 = 64$

Теперь подставим это значение обратно в формулу и вычислим сумму:

$S_6 = \frac{5(64 - 1)}{1} = 5 \cdot 63 = 315$

Ответ: $315$.

б)

Дано: $b_1 = -1$, $q = -1,5$, $n = 8$.

Подставим значения в формулу. Для удобства представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $q = -1,5 = -\frac{3}{2}$.

$S_8 = \frac{-1\left(\left(-\frac{3}{2}\right)^8 - 1\right)}{-\frac{3}{2} - 1}$

Вычислим $\left(-\frac{3}{2}\right)^8$. Так как степень четная, результат будет положительным:

$\left(-\frac{3}{2}\right)^8 = \frac{3^8}{2^8} = \frac{6561}{256}$

Теперь вычислим сумму:

$S_8 = \frac{-1\left(\frac{6561}{256} - 1\right)}{-\frac{3}{2} - \frac{2}{2}} = \frac{-1\left(\frac{6561 - 256}{256}\right)}{-\frac{5}{2}} = \frac{-\frac{6305}{256}}{-\frac{5}{2}}$

При делении дробей "переворачиваем" вторую дробь и умножаем:

$S_8 = \frac{6305}{256} \cdot \frac{2}{5} = \frac{6305 \cdot 2}{256 \cdot 5}$

Сократим дробь: $6305$ делится на $5$ ($1261$), а $256$ делится на $2$ ($128$):

$S_8 = \frac{1261}{128}$

Ответ: $\frac{1261}{128}$.

в)

Дано: $b_1 = -4$, $q = \frac{1}{2}$, $n = 13$.

Когда знаменатель $|q| < 1$, удобнее использовать эквивалентную формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

$S_{13} = \frac{-4\left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{13}\right)}{1 - \frac{1}{2}}$

Вычислим $\left(\frac{1}{2}\right)^{13}$:

$\left(\frac{1}{2}\right)^{13} = \frac{1^{13}}{2^{13}} = \frac{1}{8192}$

Подставим значение и вычислим сумму:

$S_{13} = \frac{-4\left(1 - \frac{1}{8192}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{-4\left(\frac{8192 - 1}{8192}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{-4\left(\frac{8191}{8192}\right)}{\frac{1}{2}}$

$S_{13} = -4 \cdot \frac{8191}{8192} \cdot 2 = -8 \cdot \frac{8191}{8192}$

Сократим дробь на 8:

$S_{13} = -\frac{8191}{1024}$

Ответ: $-\frac{8191}{1024}$.

г)

Дано: $b_1 = 4,5$, $q = \frac{1}{3}$, $n = 8$.

Представим $b_1$ в виде обыкновенной дроби: $b_1 = 4,5 = \frac{9}{2}$. Используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$:

$S_8 = \frac{\frac{9}{2}\left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^8\right)}{1 - \frac{1}{3}}$

Вычислим $\left(\frac{1}{3}\right)^8$:

$\left(\frac{1}{3}\right)^8 = \frac{1}{3^8} = \frac{1}{6561}$

Теперь вычислим сумму:

$S_8 = \frac{\frac{9}{2}\left(1 - \frac{1}{6561}\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{9}{2}\left(\frac{6560}{6561}\right)}{\frac{2}{3}}$

$S_8 = \frac{9}{2} \cdot \frac{6560}{6561} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9 \cdot 6560 \cdot 3}{2 \cdot 6561 \cdot 2} = \frac{27 \cdot 6560}{4 \cdot 6561}$

Сократим дробь, зная, что $6561 = 3^8 = 243 \cdot 27$:

$S_8 = \frac{27 \cdot 6560}{4 \cdot (243 \cdot 27)} = \frac{6560}{4 \cdot 243}$

Сократим числитель и знаменатель на 4:

$S_8 = \frac{1640}{243}$

Ответ: $\frac{1640}{243}$.