Номер 17.33, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.33 Найдите те значения переменной $y$, при которых числа $-81$, $3y$, $-1$ являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Пусть данные числа являются последовательными членами геометрической прогрессии $b_1, b_2, b_3$. По условию, $b_1 = -81$, $b_2 = 3y$ и $b_3 = -1$.

Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии, квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению его соседних членов. Это можно записать в виде формулы: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$

Подставим в эту формулу данные из условия задачи: $(3y)^2 = (-81) \cdot (-1)$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $y$: $9y^2 = 81$

Разделим обе части уравнения на 9: $y^2 = \frac{81}{9}$ $y^2 = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим возможные значения $y$: $y = \sqrt{9}$ или $y = -\sqrt{9}$ $y_1 = 3$ $y_2 = -3$

Мы получили два значения для переменной $y$. Выполним проверку для каждого из них.

1. Если $y = 3$, то последовательность чисел будет: $-81, 3 \cdot 3, -1$, то есть $-81, 9, -1$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{9}{-81} = -\frac{1}{9}$.
Проверим, получается ли третий член из второго: $b_3 = b_2 \cdot q = 9 \cdot (-\frac{1}{9}) = -1$. Это значение соответствует условию.

2. Если $y = -3$, то последовательность чисел будет: $-81, 3 \cdot (-3), -1$, то есть $-81, -9, -1$.
Найдем знаменатель прогрессии $q$: $q = \frac{-9}{-81} = \frac{1}{9}$.
Проверим, получается ли третий член из второго: $b_3 = b_2 \cdot q = -9 \cdot (\frac{1}{9}) = -1$. Это значение также соответствует условию.

Следовательно, оба найденных значения $y$ являются решениями задачи.

Ответ: -3; 3.