Номер 17.37, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.37 Укажите наименьший номер, начиная с которого все члены геометрической прогрессии ($b_n$) будут больше числа A:

a) $b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$, $A = 324$;

б) $b_n = 3,5 \cdot (\sqrt{2})^{n-2}$, $A = 14$;

в) $b_n = 2 \cdot 5^{n-1}$, $A = 1250$;

г) $b_n = \frac{2}{5} \cdot (\sqrt{3})^{n+3}$, $A = 32,4$.

а)

Для того чтобы найти наименьший номер $n$, начиная с которого все члены геометрической прогрессии $b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$ будут больше числа $A = 324$, необходимо решить неравенство $b_n > A$.

$4 \cdot 3^{n-1} > 324$

Разделим обе части неравенства на 4:

$3^{n-1} > \frac{324}{4}$

$3^{n-1} > 81$

Представим число 81 в виде степени с основанием 3: $81 = 3^4$.

$3^{n-1} > 3^4$

Так как основание степени 3 больше 1, то для показателей степени неравенство сохраняет свой знак:

$n - 1 > 4$

$n > 5$

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, равно 6. Поскольку знаменатель прогрессии $q=3 > 1$, она является возрастающей, и все члены, начиная с шестого, будут больше 324.

Ответ: 6.

б)

Решим неравенство $b_n > A$ для $b_n = 3,5 \cdot (\sqrt{2})^{n-2}$ и $A = 14$.

$3,5 \cdot (\sqrt{2})^{n-2} > 14$

Разделим обе части на 3,5:

$(\sqrt{2})^{n-2} > \frac{14}{3,5}$

$(\sqrt{2})^{n-2} > 4$

Представим обе части неравенства в виде степени с основанием 2: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ и $4 = 2^2$.

$(2^{1/2})^{n-2} > 2^2$

$2^{\frac{n-2}{2}} > 2^2$

Так как основание степени 2 больше 1, переходим к неравенству для показателей:

$\frac{n-2}{2} > 2$

$n - 2 > 4$

$n > 6$

Наименьшее целое число $n$, которое больше 6, это 7. Знаменатель прогрессии $q=\sqrt{2} > 1$, значит, она возрастающая.

Ответ: 7.

в)

Решим неравенство $b_n > A$ для $b_n = 2 \cdot 5^{n-1}$ и $A = 1250$.

$2 \cdot 5^{n-1} > 1250$

Разделим обе части на 2:

$5^{n-1} > \frac{1250}{2}$

$5^{n-1} > 625$

Представим 625 в виде степени с основанием 5: $625 = 5^4$.

$5^{n-1} > 5^4$

Так как основание 5 больше 1, получаем:

$n - 1 > 4$

$n > 5$

Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому условию, равно 6. Знаменатель прогрессии $q=5 > 1$, значит, она возрастающая.

Ответ: 6.

г)

Решим неравенство $b_n > A$ для $b_n = \frac{2}{5} \cdot (\sqrt{3})^{n+3}$ и $A = 32,4$.

$\frac{2}{5} \cdot (\sqrt{3})^{n+3} > 32,4$

Преобразуем $32,4$ в обыкновенную дробь: $32,4 = \frac{324}{10} = \frac{162}{5}$.

$\frac{2}{5} \cdot (\sqrt{3})^{n+3} > \frac{162}{5}$

Умножим обе части на $\frac{5}{2}$:

$(\sqrt{3})^{n+3} > \frac{162}{5} \cdot \frac{5}{2}$

$(\sqrt{3})^{n+3} > 81$

Представим обе части в виде степени с основанием 3: $\sqrt{3} = 3^{1/2}$ и $81 = 3^4$.

$(3^{1/2})^{n+3} > 3^4$

$3^{\frac{n+3}{2}} > 3^4$

Так как основание 3 больше 1:

$\frac{n+3}{2} > 4$

$n + 3 > 8$

$n > 5$

Наименьшее целое число $n$, которое больше 5, это 6. Знаменатель прогрессии $q=\sqrt{3} > 1$, значит, она возрастающая.

Ответ: 6.