Номер 17.43, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.43 Между числами 1 и 81 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

Пусть искомые числа вместе с данными числами 1 и 81 образуют геометрическую прогрессию, которую мы обозначим как $b_n$. Поскольку между двумя данными числами нужно вставить три числа, всего в прогрессии будет $2 + 3 = 5$ членов.

Таким образом, мы имеем:

• Первый член прогрессии: $b_1 = 1$
• Пятый член прогрессии: $b_5 = 81$

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $q$ — это знаменатель прогрессии.

Используем эту формулу для пятого члена, чтобы найти знаменатель $q$: $b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$ $81 = 1 \cdot q^4$ $q^4 = 81$

Данное уравнение имеет два действительных корня, так как степень четная: $q_1 = \sqrt[4]{81} = 3$ $q_2 = -\sqrt[4]{81} = -3$

Это означает, что существуют два возможных набора чисел, удовлетворяющих условию задачи. Рассмотрим каждый случай отдельно.

Теперь найдем три промежуточных члена прогрессии ($b_2$, $b_3$ и $b_4$), умножая каждый предыдущий член на знаменатель $q=3$: $b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot 3 = 3$ $b_3 = b_2 \cdot q = 3 \cdot 3 = 9$ $b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot 3 = 27$

Получившаяся геометрическая прогрессия: 1, 3, 9, 27, 81.

Ответ: 3, 9, 27.

Аналогично найдем три промежуточных члена прогрессии для знаменателя $q=-3$: $b_2 = b_1 \cdot q = 1 \cdot (-3) = -3$ $b_3 = b_2 \cdot q = (-3) \cdot (-3) = 9$ $b_4 = b_3 \cdot q = 9 \cdot (-3) = -27$

Получившаяся знакочередующаяся геометрическая прогрессия: 1, -3, 9, -27, 81.

Ответ: -3, 9, -27.