Номер 17.39, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.39 В конечной геометрической прогрессии указаны первый член $b_1$, знаменатель $q$ и сумма $S_n$ всех её членов. Найдите число членов прогрессии:

a) $b_1 = 5, q = 3, S_n = 200;$

б) $b_1 = -1, q = \frac{1}{2}, S_n = -1\frac{63}{64};$

в) $b_1 = 3, q = 2, S_n = 189;$

г) $b_1 = 3, q = \frac{1}{3}, S_n = 4\frac{13}{27}.$

а) Для нахождения числа членов $n$ конечной геометрической прогрессии воспользуемся формулой суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$, где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель, $S_n$ — сумма всех членов.
Подставим известные значения: $b_1 = 5$, $q = 3$, $S_n = 200$.
$200 = \frac{5(3^n - 1)}{3 - 1}$
$200 = \frac{5(3^n - 1)}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$400 = 5(3^n - 1)$
Разделим обе части на 5:
$80 = 3^n - 1$
Прибавим 1 к обеим частям:
$81 = 3^n$
Так как $81 = 3^4$, то получаем:
$3^4 = 3^n$
Следовательно, $n = 4$.
Ответ: 4.

б) В данном случае $b_1 = -1$, $q = \frac{1}{2}$, $S_n = -1\frac{63}{64}$.
Сначала представим смешанную дробь в виде неправильной: $S_n = -1\frac{63}{64} = -\frac{1 \cdot 64 + 63}{64} = -\frac{127}{64}$.
Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$, которая удобна при $q < 1$.
$-\frac{127}{64} = \frac{-1(1 - (\frac{1}{2})^n)}{1 - \frac{1}{2}}$
$-\frac{127}{64} = \frac{-(1 - (\frac{1}{2})^n)}{\frac{1}{2}}$
Умножим обе части на -1:
$\frac{127}{64} = \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{\frac{1}{2}}$
Умножим обе части на $\frac{1}{2}$:
$\frac{127}{64} \cdot \frac{1}{2} = 1 - (\frac{1}{2})^n$
$\frac{127}{128} = 1 - (\frac{1}{2})^n$
Выразим $(\frac{1}{2})^n$:
$(\frac{1}{2})^n = 1 - \frac{127}{128} = \frac{128 - 127}{128} = \frac{1}{128}$
Так как $128 = 2^7$, то $\frac{1}{128} = (\frac{1}{2})^7$.
$(\frac{1}{2})^n = (\frac{1}{2})^7$
Следовательно, $n = 7$.
Ответ: 7.

в) Дано: $b_1 = 3$, $q = 2$, $S_n = 189$.
Используем формулу суммы $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.
$189 = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1}$
$189 = \frac{3(2^n - 1)}{1}$
$189 = 3(2^n - 1)$
Разделим обе части на 3:
$63 = 2^n - 1$
Прибавим 1 к обеим частям:
$64 = 2^n$
Так как $64 = 2^6$, получаем:
$2^6 = 2^n$
Следовательно, $n = 6$.
Ответ: 6.

г) Дано: $b_1 = 3$, $q = \frac{1}{3}$, $S_n = 4\frac{13}{27}$.
Представим сумму в виде неправильной дроби: $S_n = \frac{4 \cdot 27 + 13}{27} = \frac{108 + 13}{27} = \frac{121}{27}$.
Используем формулу $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$.
$\frac{121}{27} = \frac{3(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}}$
$\frac{121}{27} = \frac{3(1 - (\frac{1}{3})^n)}{\frac{2}{3}}$
$\frac{121}{27} = 3 \cdot \frac{3}{2} \cdot (1 - (\frac{1}{3})^n)$
$\frac{121}{27} = \frac{9}{2}(1 - (\frac{1}{3})^n)$
Умножим обе части на $\frac{2}{9}$:
$\frac{121}{27} \cdot \frac{2}{9} = 1 - (\frac{1}{3})^n$
$\frac{242}{243} = 1 - (\frac{1}{3})^n$
Выразим $(\frac{1}{3})^n$:
$(\frac{1}{3})^n = 1 - \frac{242}{243} = \frac{243 - 242}{243} = \frac{1}{243}$
Так как $243 = 3^5$, то $\frac{1}{243} = (\frac{1}{3})^5$.
$(\frac{1}{3})^n = (\frac{1}{3})^5$
Следовательно, $n = 5$.
Ответ: 5.