Номер 17.34, страница 113, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.34 Найдите те значения переменной $x$, при которых числа $x - 1$, $\sqrt{3x}$, $6x$ являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Пусть данные числа $b_1 = x - 1$, $b_2 = \sqrt{3x}$ и $b_3 = 6x$ являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Для того чтобы три числа были последовательными членами геометрической прогрессии, должно выполняться ее характеристическое свойство: квадрат среднего члена равен произведению двух крайних. В виде формулы это записывается как $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

Прежде чем решать уравнение, найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как в задаче есть выражение с квадратным корнем $\sqrt{3x}$, подкоренное выражение не может быть отрицательным: $3x \geq 0$ $x \geq 0$

Теперь подставим данные нам выражения в формулу характеристического свойства геометрической прогрессии: $(\sqrt{3x})^2 = (x - 1) \cdot 6x$

Решим это уравнение: $3x = 6x^2 - 6x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения: $6x^2 - 6x - 3x = 0$ $6x^2 - 9x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки: $3x(2x - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения: 1) $3x = 0 \implies x_1 = 0$ 2) $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x_2 = \frac{3}{2}$

Теперь необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ ($x \geq 0$). Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 \geq 0$. Корень $x_2 = \frac{3}{2}$ также удовлетворяет условию, так как $\frac{3}{2} \geq 0$. Следовательно, оба значения являются потенциальными решениями.

Проведем проверку, подставив найденные значения $x$ в исходные выражения.

Для $x = 0$: Первый член: $x - 1 = 0 - 1 = -1$ Второй член: $\sqrt{3x} = \sqrt{3 \cdot 0} = 0$ Третий член: $6x = 6 \cdot 0 = 0$ Получилась последовательность: $-1, 0, 0$. Это геометрическая прогрессия, знаменатель которой $q = \frac{0}{-1} = 0$.

Для $x = \frac{3}{2}$: Первый член: $x - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$ Второй член: $\sqrt{3x} = \sqrt{3 \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ Третий член: $6x = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$ Получилась последовательность: $\frac{1}{2}, \frac{3}{\sqrt{2}}, 9$. Проверим характеристическое свойство: $(\frac{3}{\sqrt{2}})^2 = \frac{9}{2}$. Произведение крайних членов: $\frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{9}{2}$. Равенство выполняется, значит, это геометрическая прогрессия.

Оба найденных значения $x$ являются решениями задачи.

Ответ: $0; \frac{3}{2}$.