Номер 17.41, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

17.41 a) Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите знаменатель прогрессии и сумму её первых пяти членов, если $b_1 = 5, b_3 = 80$.

б) Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия ($b_n$). Найдите знаменатель прогрессии и сумму её первых семи членов, если $b_1 = 1, b_3 = 8$.

а)

Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия $(b_n)$, у которой $b_1 = 5$ и $b_3 = 80$.

1. Найдём знаменатель прогрессии $q$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Для $n=3$ имеем: $b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$.

Подставим известные значения:

$80 = 5 \cdot q^2$

$q^2 = \frac{80}{5}$

$q^2 = 16$

Отсюда $q = 4$ или $q = -4$.

Так как прогрессия знакочередующаяся, её знаменатель должен быть отрицательным. Следовательно, $q = -4$.

2. Найдём сумму первых пяти членов прогрессии $S_5$.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим $n=5$, $b_1=5$ и $q=-4$ в формулу:

$S_5 = \frac{5((-4)^5 - 1)}{-4 - 1}$

Вычислим $(-4)^5$: $(-4)^5 = -1024$.

$S_5 = \frac{5(-1024 - 1)}{-5} = \frac{5(-1025)}{-5}$

$S_5 = -(-1025) = 1025$.

Ответ: знаменатель прогрессии равен -4, сумма её первых пяти членов равна 1025.

б)

Дана знакочередующаяся геометрическая прогрессия $(b_n)$, у которой $b_1 = 1$ и $b_3 = 8$.

1. Найдём знаменатель прогрессии $q$.

Используем формулу n-го члена: $b_3 = b_1 \cdot q^2$.

Подставим известные значения:

$8 = 1 \cdot q^2$

$q^2 = 8$

Отсюда $q = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ или $q = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2}$.

Поскольку прогрессия является знакочередующейся, её знаменатель $q$ должен быть отрицательным. Таким образом, $q = -2\sqrt{2}$.

2. Найдём сумму первых семи членов прогрессии $S_7$.

Используем формулу суммы: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$.

Подставим $n=7$, $b_1=1$ и $q=-2\sqrt{2}$:

$S_7 = \frac{1((-2\sqrt{2})^7 - 1)}{-2\sqrt{2} - 1}$

Вычислим $q^7 = (-2\sqrt{2})^7$.

$(-2\sqrt{2})^7 = (-2)^7 \cdot (\sqrt{2})^7 = -128 \cdot ((\sqrt{2})^6 \cdot \sqrt{2}) = -128 \cdot (2^3 \cdot \sqrt{2}) = -128 \cdot 8\sqrt{2} = -1024\sqrt{2}$.

Подставим это значение в формулу для $S_7$:

$S_7 = \frac{-1024\sqrt{2} - 1}{-2\sqrt{2} - 1} = \frac{-(1024\sqrt{2} + 1)}{-(2\sqrt{2} + 1)} = \frac{1024\sqrt{2} + 1}{2\sqrt{2} + 1}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2\sqrt{2} - 1)$:

$S_7 = \frac{(1024\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{2} - 1)}{(2\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{2} - 1)} = \frac{1024\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} - 1024\sqrt{2} + 2\sqrt{2} - 1}{(2\sqrt{2})^2 - 1^2}$

$S_7 = \frac{1024 \cdot 4 - 1022\sqrt{2} - 1}{8 - 1} = \frac{4096 - 1 - 1022\sqrt{2}}{7} = \frac{4095 - 1022\sqrt{2}}{7}$

Разделим почленно:

$S_7 = \frac{4095}{7} - \frac{1022\sqrt{2}}{7} = 585 - 146\sqrt{2}$.

Ответ: знаменатель прогрессии равен $-2\sqrt{2}$, сумма её первых семи членов равна $585 - 146\sqrt{2}$.